Seja f uma função definida por f(x) = (x+a)/4x+b, sendo a e b constantes reais. Sabendo que f(0) = - 3 e que f(1) = 4/3, determine:
a) Os valores de a e b
b) O domínio da função
c) O elemento do domínio cuja imagem vale (-2/5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que a gente tem é $ f(x) = \frac{x + a}{4x + b} $, onde $ a $ e $ b $ são constantes que precisamos encontrar. A gente vai precisar usar conhecimentos de funções racionais, resolver equações com substituição de valores específicos e entender um pouco sobre domínio de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação que $ f(0) = -3 $. Isso significa que quando substituímos $ x = 0 $ na função, o resultado é -3. Então:
f(0) = -3
Daí, temos a primeira equação:
x = 0

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda informação: $ f(1) = \frac{4}{3} $. Substituindo $ x = 1 $ na função:
f(1) = 43
Isso nos dá a segunda equação:
x = 1

Passo 4

Vamos substituir $ a = -3b $ na segunda equação:
a = -3b
Agora, cruzamos os produtos:
1 + (-3b)4 + b = 43 Rightarrow 1 - 3b4 + b = 43

Passo 5

Vamos resolver para $ b $:
b
Agora que temos $ b = -1 $, vamos encontrar $ a $:
3 - 16 = 4b + 9b Rightarrow -13 = 13b Rightarrow b = -1

Passo 6

Agora que já temos $ a = 3 $ e $ b = -1 $, vamos passar para o item b) determinar o domínio da função. A função é $ f(x) = \frac{x + 3}{4x - 1} $. O domínio são todos os valores de $ x $ que não deixam o denominador zero, ou seja:
a = 3
Então, o domínio é todos os reais exceto $ x = \frac{1}{4} $.

Passo 7

Finalmente, no item c), queremos encontrar o valor de $ x $ no domínio tal que $ f(x) = -\frac{2}{5} $. Então, vamos resolver:
x
Multiplicando cruzado:
f(x) = -25
Somando $ 8x $ e subtraindo $ 15 $ de ambos os lados:
x + 34x - 1 = -25

Resposta

a) $ a = 3 $ e $ b = -1 $
b) Domínio: $ \mathbb{R} \setminus \left{ \frac{1}{4} \right} $
c) O elemento do domínio é $ x = -1 $

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