Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área delimitada por r = 1 - 2 cos(θ). Justifique todo o processo realizado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico, montar uma integral dupla e encontrar a área delimitada pela equação polar . Vamos usar conceitos de gráficos em coordenadas polares e integração dupla para resolver isso. Primeiramente, precisamos entender como desenhar esse gráfico e depois configurar a integral para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico de . Essa é uma equação em coordenadas polares, onde é a distância ao centro e é o ângulo. Para entender como fica o gráfico, vamos analisar alguns valores de :
  • Quando : (como negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta, ou seja, em )
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando : (novamente, em )
Com esses pontos, percebemos que o gráfico forma um cardióide deslocado, que tem uma forma semelhante a um coração indo para a esquerda devido ao termo .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para a nossa integral dupla. Como estamos trabalhando em coordenadas polares, a área pode ser calculada usando a fórmula:
Onde e são os limites de que descrevem uma volta completa no gráfico. No caso do nosso cardióide, varia de a para cobrir toda a área uma vez.

Passo 4

Vamos montar a integral para calcular a área. Substituindo na fórmula:
Antes de calcular, vamos expandir o termo ao quadrado para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integrar o termo constante:
  2. Integrar o termo com :
    (Porque a integral do cosseno em um ciclo completo é zero)
  3. Integrar o termo com :
    Lembre que , então:
Agora, substituindo de volta na integral original:

Resposta

A área delimitada pela equação é unidades de área.

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Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área definida por y = x^3 - 2 x e y = x^2. Justifique todo o processo adotado.
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