Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área delimitada por
. Justifique todo o processo realizado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico, montar uma integral dupla e encontrar a área delimitada pela equação polar
. Vamos usar conceitos de gráficos em coordenadas polares e integração dupla para resolver isso. Primeiramente, precisamos entender como desenhar esse gráfico e depois configurar a integral para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico de
. Essa é uma equação em coordenadas polares, onde
é a distância ao centro e
é o ângulo. Para entender como fica o gráfico, vamos analisar alguns valores de
:
- Quando
: (como negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta, ou seja, em ) - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: (novamente, em )
Com esses pontos, percebemos que o gráfico forma um cardióide deslocado, que tem uma forma semelhante a um coração indo para a esquerda devido ao termo
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para a nossa integral dupla. Como estamos trabalhando em coordenadas polares, a área
pode ser calculada usando a fórmula:
Onde
e
são os limites de
que descrevem uma volta completa no gráfico. No caso do nosso cardióide,
varia de
a
para cobrir toda a área uma vez.
Passo 4
Vamos montar a integral para calcular a área. Substituindo
na fórmula:
Antes de calcular, vamos expandir o termo ao quadrado para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
-
Integrar o termo constante:
-
Integrar o termo com
: (Porque a integral do cosseno em um ciclo completo é zero) -
Integrar o termo com
:
Lembre que, então:
Agora, substituindo de volta na integral original:
Resposta
A área delimitada pela equação
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Ache a equação
, esboce o gráfico e indicar a orientação:
5)
5)
Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área definida por
e
. Justifique todo o processo adotado.
Simplifique as seguintes expressões numéricas:
(d) .
(d)
Esboce o sólido, monte uma integral tripla e encontre o volume do sólido delimitado por
e