Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área definida por
e
. Justifique todo o processo adotado.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo que pede para a gente encontrar a área delimitada pelas curvas
e
. Vamos usar integração dupla para resolver isso. Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam e onde elas se cruzam, porque isso vai definir os limites da nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber entre quais valores de
vamos integrar. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para resolver para
:
Isso nos dá uma solução
e precisamos resolver a equação quadrática
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são
e
.
Passo 5
Agora sabemos que as curvas se intersectam em
,
e
. Vamos identificar qual curva está acima da outra nesses intervalos para determinar a função que será integrada.
Passo 6
Vamos escolher um valor de
dentro de cada intervalo para ver qual função tem o
maior:
-
Entre
e , se escolhermos : Aqui,. -
Entre
e , se escolhermos : Aqui,.
Passo 7
Agora que sabemos qual função está acima em cada intervalo, podemos montar a integral dupla para calcular a área.
A área
é dada por:
Onde
e
são os limites de integração.
Passo 8
Dividindo a integral nos dois intervalos identificados:
Passo 9
Vamos simplificar as expressões dentro das integrais:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 11
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Passo 12
Somando os resultados das duas integrais para obter a área total:
Resposta
A área definida pelas curvas
e
é
unidades de área, aproximadamente 3,08.
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Ache a equação
, esboce o gráfico e indicar a orientação:
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e o plano-
Ache a equação
, esboce o gráfico e indicar a orientação:
5)
5)
Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área delimitada por
. Justifique todo o processo realizado.