Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área definida por y = x^3 - 2 x e y = x^2. Justifique todo o processo adotado.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo que pede para a gente encontrar a área delimitada pelas curvas e . Vamos usar integração dupla para resolver isso. Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam e onde elas se cruzam, porque isso vai definir os limites da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber entre quais valores de vamos integrar. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para resolver para :
Isso nos dá uma solução e precisamos resolver a equação quadrática .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são e .

Passo 5

Agora sabemos que as curvas se intersectam em , e . Vamos identificar qual curva está acima da outra nesses intervalos para determinar a função que será integrada.

Passo 6

Vamos escolher um valor de dentro de cada intervalo para ver qual função tem o maior:
  • Entre e , se escolhermos :
    Aqui, .
  • Entre e , se escolhermos :
    Aqui, .

Passo 7

Agora que sabemos qual função está acima em cada intervalo, podemos montar a integral dupla para calcular a área.
A área é dada por:
Onde e são os limites de integração.

Passo 8

Dividindo a integral nos dois intervalos identificados:

Passo 9

Vamos simplificar as expressões dentro das integrais:
Para :
Para :

Passo 10

Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 11

Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:

Passo 12

Somando os resultados das duas integrais para obter a área total:

Resposta

A área definida pelas curvas e é unidades de área, aproximadamente 3,08.

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