Ache a equação y = f(x), esboce o gráfico e indicar a orientação:
5) x = e^t ; y = t . e^t ; 0 <= t <= 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um par de equações paramétricas que relacionam e através de um parâmetro :
Nosso objetivo é encontrar uma equação que relacione diretamente com , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais e manipulação algébrica para eliminar o parâmetro .

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira equação para . A equação é:
Para isolar , podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Então, temos:

Passo 3

Agora que expressamos em termos de , vamos substituir esse valor na segunda equação paramétrica:
Substituindo por :
Sabemos que , então simplificamos:
Portanto, a equação é:

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função no intervalo correspondente. Sabemos que , e como , vamos encontrar os valores de para e :
Portanto, nosso gráfico estará no intervalo .

Passo 5

Vamos analisar a orientação do gráfico. Como aumenta de 0 para 2, e como é uma função crescente, o valor de também aumenta. Além disso, também é crescente nesse intervalo porque tanto quanto aumentam à medida que aumenta. Portanto, a orientação do gráfico é da esquerda para a direita, de baixo para cima.

Resposta

A equação que relaciona com é:
O gráfico dessa função no intervalo é uma curva crescente que se estende da esquerda para a direita e de baixo para cima.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área definida por y = x^3 - 2 x e y = x^2. Justifique todo o processo adotado.
Ache a equação y = f(x), esboce o gráfico e indicar a orientação:
3) x = 4 t^2 - 5 ; y = 2 t + 3 ; -2 <= t <= 2
Esboce o gráfico, monte uma integral dupla e encontre a área delimitada por r = 1 - 2 cos(θ). Justifique todo o processo realizado.
Simplifique as seguintes expressões numéricas:
(d) raiz(8) - raiz(18) + 2 * raiz(2).