Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, identificar onde a função cresce ou decresce, achar os pontos críticos, pontos de descontinuidade e as assíntotas. Vamos precisar usar um pouquinho de cálculo e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a função pode assumir sem quebrar. A gente olha o denominador e vê que ele não pode ser zero, porque não dá pra dividir por zero. Então:
Então, o domínio é todos os números reais menos .

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de descontinuidade. Como faz com que o denominador seja zero, esse é um ponto de descontinuidade. Nesse caso, é uma descontinuidade do tipo assíntota vertical.

Passo 4

Vamos encontrar as assíntotas da função. Já vimos que é uma assíntota vertical. Além disso, pra funções racionais, a assíntota horizontal é determinada pelo limite da função quando vai para mais ou menos infinito. Calculando:
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, calculamos a derivada da função:
A derivada é sempre positiva, já que o denominador ao quadrado nunca é negativo. Isso significa que a função está sempre crescente no seu domínio.
Como a derivada nunca é zero, não há pontos críticos.

Passo 6

Por último, vamos esboçar o gráfico usando todas as informações que coletamos:
  • Domínio:
  • Assíntotas: (vertical) e (horizontal)
  • Crescimento: Sempre crescente
  • Ponto de descontinuidade:
O gráfico será uma hipérbole com as assíntotas mencionadas, aumentando de forma contínua à medida que se afasta de 1.

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . A função está sempre crescente em todo o seu domínio ( ) e não possui pontos críticos. Não há pontos de descontinuidade além de . O esboço apresenta uma hipérbole com essas características.

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos dos exercícios 10. a 17.
Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(b) a menor área possível.
Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(a) a maior área possível.