Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(a) a maior área possível.
(a) a maior área possível.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Você tem 1 metro de barbante que vai ser cortado para formar um quadrado e um círculo. Nosso objetivo é encontrar o tamanho do lado do quadrado e o raio do círculo que juntos proporcionam a maior área possível.
Conteúdo da matéria: Otimização de funções usando cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos.
O que vamos precisar: Precisamos relacionar o comprimento total do barbante com as dimensões do quadrado e do círculo e, em seguida, maximizar a área total combinada.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o lado do quadrado. - Seja
o raio do círculo.
Perímetros e Comprimentos:
- O perímetro do quadrado é
. - A circunferência do círculo é
.
Como o barbante total é 1 metro, temos a equação:
Passo 3
Queremos maximizar a área total formada pelo quadrado e pelo círculo.
Áreas:
- Área do quadrado:
- Área do círculo:
Portanto, a área total é:
Passo 4
Vamos usar a restrição do comprimento do barbante para expressar uma das variáveis em termos da outra. Iremos isolar
na equação do perímetro:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão da área total
:
Passo 6
Vamos expandir a expressão:
Passo 7
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza a área
, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Simplificando a expressão para
:
Passo 11
Agora, substituímos
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
Para obter a maior área possível, o lado do quadrado deve medir aproximadamente 0,14 metros e o raio do círculo deve ser de aproximadamente 0,07 metros.
Exercícios relacionados
Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(b) a menor área possível.
(b) a menor área possível.
Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(a) .
(a)
Uma marca de salgadinhos sabor batata deseja fazer uma caixa de lata em formato cilíndrico para comportar um peso líquido de 500 ml de produto. Considerando que o custo da tampa seja desprezível em comparação com o custo da lata, calcule as medidas da caixa cilíndrica que minimizam o custo de confeç̧ão da caixa.
Encontre as dimensões dos lados do retângulo de maior área que pode ser inscrito
num círculo de raio 1 .
num círculo de raio 1 .