Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(a) a maior área possível.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: Você tem 1 metro de barbante que vai ser cortado para formar um quadrado e um círculo. Nosso objetivo é encontrar o tamanho do lado do quadrado e o raio do círculo que juntos proporcionam a maior área possível.
Conteúdo da matéria: Otimização de funções usando cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos.
O que vamos precisar: Precisamos relacionar o comprimento total do barbante com as dimensões do quadrado e do círculo e, em seguida, maximizar a área total combinada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o lado do quadrado.
  • Seja o raio do círculo.
Perímetros e Comprimentos:
  • O perímetro do quadrado é .
  • A circunferência do círculo é .
Como o barbante total é 1 metro, temos a equação:

Passo 3

Queremos maximizar a área total formada pelo quadrado e pelo círculo.
Áreas:
  • Área do quadrado:
  • Área do círculo: í
Portanto, a área total é:

Passo 4

Vamos usar a restrição do comprimento do barbante para expressar uma das variáveis em termos da outra. Iremos isolar na equação do perímetro:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da área total :

Passo 6

Vamos expandir a expressão:

Passo 7

Agora, combinamos os termos semelhantes:

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza a área , precisamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero.

Passo 9

Resolvendo para :

Passo 10

Simplificando a expressão para :

Passo 11

Agora, substituímos na expressão de :
Simplificando:

Resposta

Para obter a maior área possível, o lado do quadrado deve medir aproximadamente 0,14 metros e o raio do círculo deve ser de aproximadamente 0,07 metros.

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(a) .
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