Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(b) a menor área possível.
(b) a menor área possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que você tem 1 metro de barbante e quer cortar ele para fazer um quadrado e um círculo. A ideia aqui é encontrar o tamanho do lado do quadrado e o raio do círculo que fazem com que a área total formada seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de perímetro e área para o quadrado e o círculo, além de um pouco de cálculo para otimizar a função da área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um quadrado é 4 vezes o comprimento do lado. Então, se chamarmos o lado do quadrado de
, temos:
Passo 3
Já para o círculo, a circunferência é
, onde
é o raio. Então:
Passo 4
Como todo o barbante de 1 metro será usado para formar o quadrado e o círculo juntos, a soma dos perímetros deles será igual a 1 metro:
Passo 5
Queremos minimizar a área total formada pelo quadrado e pelo círculo. A área do quadrado é
e a área do círculo é
. Então, a área total
é:
Passo 6
Agora, precisamos expressar a área
em termos de uma única variável. Da equação do perímetro, podemos isolar
ou
. Vamos isolar
:
Passo 7
Substituindo
na expressão da área
:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que minimiza a área
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a equação que isolamos antes:
Resposta
Para minimizar a área total, o lado do quadrado deve ser
metros e o raio do círculo deve ser
metros.
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Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(a) .
(a)
Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(a) a maior área possível.
(a) a maior área possível.
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