Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(b) a menor área possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que você tem 1 metro de barbante e quer cortar ele para fazer um quadrado e um círculo. A ideia aqui é encontrar o tamanho do lado do quadrado e o raio do círculo que fazem com que a área total formada seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de perímetro e área para o quadrado e o círculo, além de um pouco de cálculo para otimizar a função da área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um quadrado é 4 vezes o comprimento do lado. Então, se chamarmos o lado do quadrado de , temos:

Passo 3

Já para o círculo, a circunferência é , onde é o raio. Então:
í

Passo 4

Como todo o barbante de 1 metro será usado para formar o quadrado e o círculo juntos, a soma dos perímetros deles será igual a 1 metro:

Passo 5

Queremos minimizar a área total formada pelo quadrado e pelo círculo. A área do quadrado é e a área do círculo é . Então, a área total é:

Passo 6

Agora, precisamos expressar a área em termos de uma única variável. Da equação do perímetro, podemos isolar ou . Vamos isolar :

Passo 7

Substituindo na expressão da área :
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 8

Para encontrar o valor de que minimiza a área , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 9

Agora que encontramos , vamos encontrar usando a equação que isolamos antes:

Resposta

Para minimizar a área total, o lado do quadrado deve ser metros e o raio do círculo deve ser metros.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(a) .
Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(a) a maior área possível.
Uma marca de salgadinhos sabor batata deseja fazer uma caixa de lata em formato cilíndrico para comportar um peso líquido de 500 ml de produto. Considerando que o custo da tampa seja desprezível em comparação com o custo da lata, calcule as medidas da caixa cilíndrica que minimizam o custo de confeç̧ão da caixa.