Esboce o gráfico das seguintes funções
:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função definida por partes:
Vamos precisar entender como cada parte dessa função se comporta e depois juntar tudo no gráfico final. Para isso, vamos analisar cada caso separadamente e depois verificar o que acontece no ponto onde as duas partes se encontram, que é em
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando
:
Essa é uma função linear, uma reta. Para desenhar essa reta, basta encontrar alguns pontos. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
(mas como é , não inclui exatamente 1), .
Então, temos dois pontos:
e
(mas sem incluir o ponto em
).
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função quando
:
Essa é uma função quadrática, que forma uma parábola. Para esboçar essa parábola, vamos encontrar seu vértice e suas raízes.
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função:
Resolvendo a equação:
Então, as raízes são
e
.
Agora, para o vértice da parábola, usamos a fórmula
:
Substituindo na função para achar
:
Então, o vértice está em
.
Passo 4
Vamos agora juntar as informações:
- A reta
para passa por e se aproxima de sem incluir esse ponto. - A parábola
para tem vértice em , passa por e .
Precisamos verificar a continuidade no ponto
. Calculando
nas duas partes:
- Pela primeira parte, se
se aproxima de 1 pelo lado esquerdo: . - Pela segunda parte,
.
Como os valores se coincidem, a função é contínua em
.
Resposta
O gráfico da função
é composto por uma reta linear para
que passa por
até
, e uma parábola para
com vértice em
que passa por
e
. A função é contínua em
. Assim, o esboço do gráfico combina essas duas partes de forma suave no ponto
.
Exercícios relacionados
(i)
Para cada número real
, considere a função quadrática
.
c) Determine o valor de para o qual
e
é crescente em
.
c) Determine o valor de
Simplifique
Escreva:
a) como uma potência de 3 .
a)