Esboce o gráfico das seguintes funções :
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função definida por partes:
Vamos precisar entender como cada parte dessa função se comporta e depois juntar tudo no gráfico final. Para isso, vamos analisar cada caso separadamente e depois verificar o que acontece no ponto onde as duas partes se encontram, que é em .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando :
Essa é uma função linear, uma reta. Para desenhar essa reta, basta encontrar alguns pontos. Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se (mas como é , não inclui exatamente 1), .
Então, temos dois pontos: e (mas sem incluir o ponto em ).

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função quando :
Essa é uma função quadrática, que forma uma parábola. Para esboçar essa parábola, vamos encontrar seu vértice e suas raízes.
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função:
Resolvendo a equação:
Então, as raízes são e .
Agora, para o vértice da parábola, usamos a fórmula :
Substituindo na função para achar :
Então, o vértice está em .

Passo 4

Vamos agora juntar as informações:
  • A reta para passa por e se aproxima de sem incluir esse ponto.
  • A parábola para tem vértice em , passa por e .
Precisamos verificar a continuidade no ponto . Calculando nas duas partes:
  • Pela primeira parte, se se aproxima de 1 pelo lado esquerdo: .
  • Pela segunda parte, .
Como os valores se coincidem, a função é contínua em .

Resposta

O gráfico da função é composto por uma reta linear para que passa por até , e uma parábola para com vértice em que passa por e . A função é contínua em . Assim, o esboço do gráfico combina essas duas partes de forma suave no ponto .

Exercícios relacionados

(i)
Para cada número real , considere a função quadrática .
c) Determine o valor de para o qual e é crescente em .
Simplifique
Escreva:
a) como uma potência de 3 .