Para cada número real , considere a função quadrática .
c) Determine o valor de para o qual e é crescente em .

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função quadrática e precisamos encontrar o valor de que faz com que a imagem de seja o intervalo e que a função seja crescente no intervalo . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, vértice da parábola e derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a imagem de ser . Isso quer dizer que o menor valor que pode assumir é 1, e a partir daí, a função cresce até o infinito. Como é uma parábola que abre para cima (coeficiente de positivo), o menor valor ocorre no vértice da parábola.

Passo 3

Vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Sabemos que para uma função quadrática , o do vértice é dado por . No nosso caso, e , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de no vértice, que deve ser igual a 1:
Calculando passo a passo:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto, ou .

Passo 5

Agora, precisamos garantir que a função seja crescente no intervalo . Para isso, analisamos a derivada de :
Queremos que para todo . Então:
Como , quanto menor for , mais restritiva será a condição. O menor valor de próximo a 0, então:
Isso implica que deve ser positivo.

Passo 6

Dos valores possíveis para que encontramos ( e ), apenas satisfaz a condição de que .

Resposta

O valor de que satisfaz todas as condições é .

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Resolva as seguintes P.V.I.
(d)
(i)
Esboce o gráfico das seguintes funções :
a)