Para cada número real
, considere a função quadrática
.
c) Determine o valor de
para o qual
e
é crescente em
.
c) Determine o valor de
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função quadrática
e precisamos encontrar o valor de
que faz com que a imagem de
seja o intervalo
e que a função seja crescente no intervalo
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, vértice da parábola e derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a imagem de
ser
. Isso quer dizer que o menor valor que
pode assumir é 1, e a partir daí, a função cresce até o infinito. Como
é uma parábola que abre para cima (coeficiente de
positivo), o menor valor ocorre no vértice da parábola.
Passo 3
Vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Sabemos que para uma função quadrática
, o
do vértice é dado por
. No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor de
no vértice, que deve ser igual a 1:
Calculando passo a passo:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto,
ou
.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que a função seja crescente no intervalo
. Para isso, analisamos a derivada de
:
Queremos que
para todo
. Então:
Como
, quanto menor for
, mais restritiva será a condição. O menor valor de
próximo a 0, então:
Isso implica que
deve ser positivo.
Passo 6
Dos valores possíveis para
que encontramos (
e
), apenas
satisfaz a condição de que
.
Resposta
O valor de
que satisfaz todas as condições é
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes P.V.I.
(d)
(i)
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
a)
a)