Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) ;
(b) ;
©
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar os gráficos de quatro funções diferentes: , , e . Isso envolve entender como cada função se comporta, quais são suas características principais e como representar isso visualmente no gráfico. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos como domínio, imagem, simetria, pontos de interseção com os eixos e comportamento geral das funções.

Passo 2

Função (a):
Primeiro, vamos entender o que é essa função. A função valor absoluto retorna sempre um número não negativo, independente de ser positivo ou negativo.
  • Domínio: Todos os números reais ( ), porque podemos calcular o valor absoluto de qualquer número.
  • Imagem: Todos os números reais não negativos ( ).
  • Simetria: É simétrica em relação ao eixo porque .
  • Interseções:
    • Com o eixo : Quando , .
    • Com o eixo : Também no ponto .
Como esboçar:
  • Desenhe um “V” com o vértice na origem.
  • As duas linhas do “V” têm inclinações positivas e negativas de 45 graus, já que para , e para , .

Passo 3

Função (b):
Agora, vamos para a função quadrática. Ela representa uma parábola.
  • Domínio: Todos os números reais ( ).
  • Imagem: Todos os números reais não negativos ( ).
  • Simetria: Simétrica em relação ao eixo .
  • Interseções:
    • Com o eixo : .
    • Com o eixo : Também no ponto .
Como esboçar:
  • Desenhe uma parábola aberta para cima com o vértice na origem.
  • Pontos adicionais podem ser considerados, como , , , etc., para dar mais forma ao gráfico.

Passo 4

Função ©:
Essa é uma função polinomial de quarto grau.
  • Domínio: Todos os números reais ( ).
  • Imagem: Todos os números reais não negativos ( ).
  • Simetria: Simétrica em relação ao eixo .
  • Interseções:
    • Com o eixo : .
    • Com o eixo : Também no ponto .
Como esboçar:
  • Similar à parábola, mas com “campainha” mais estreita no vértice.
  • A curva é ainda mais “plana” perto da origem e sobe mais rapidamente para valores maiores de .
  • Pontos adicionais como , , , etc., ajudam a delinear a forma.

Passo 5

Função (d):
Por fim, a função raiz quadrada.
  • Domínio: Todos os números reais não negativos ( ), porque não podemos tirar raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais.
  • Imagem: Também todos os números reais não negativos ( ).
  • Simetria: Não possui simetria em relação aos eixos.
  • Interseções:
    • Com o eixo : .
    • Não intercepta o eixo além da origem.
Como esboçar:
  • A curva começa na origem e sobe lentamente para a direita.
  • É uma curva crescente, mas com inclinação decrescente à medida que aumenta.
  • Pontos como , , , etc., são úteis para construir o gráfico.

Resposta

Pronto! Com esses passos, você consegue esboçar os gráficos das fun��ões , , e , entendendo suas principais características e comportamentos.

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Mostre que se e são funções ímpares então e também são ímpares, porém e (em seu domínio) resultam ser pares.
Determine a paridade de quando:
(a) e são ímpares.
(b) par e ímpar.
© é par
Represente graficamente os seguintes conjuntos de números reais:
(a) ,
(b) ,
© ,
(d)
(e) , observe que este conjunto representa a todos aqueles pontos que distam de em menos de . Qual é a amplitude deste intervalo?
Seja . Determine:
©