Determine a paridade de quando:
(a) e são ímpares.
(b) par e ímpar.
© é par

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir se a composição de duas funções, , é par ou ímpar. A matéria envolvida aqui é a paridade de funções, que nos ajuda a entender como uma função se comporta quando a gente refaz o sinal da variável. Para resolver, vamos precisar lembrar das definições de função par e ímpar e como elas se comportam na composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:
  • Função Par: Uma função é par se para todo . Exemplos clássicos são ou .
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se para todo . Exemplos incluem ou .
Quando a gente compõe duas funções, , isso significa que a gente aplica a função primeiro e depois a função no resultado.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): e são ímpares.
Sabendo que e são ímpares, temos:
Queremos encontrar e ver se é igual a ou .
Vamos calcular:
Como é ímpar:
Isso mostra que:
Portanto, é uma função ímpar.

Passo 4

Agora, a parte (b): é par e é ímpar.
Sabendo que é par e é ímpar, temos:
Vamos encontrar :
Como é par:
Então:
Isso indica que é uma função par.

Passo 5

Por fim, a parte ©: é par.
Aqui, não temos informação sobre , apenas que é par, ou seja:
Sem saber se é par ou ímpar, não dá para determinar a paridade de de forma geral. A paridade de depende também da paridade de . Por exemplo:
  • Se for par, então será par.
  • Se for ímpar, então será par, já que .
No entanto, se não for nenhuma das opções (ou seja, não for nem par nem ímpar), não podemos determinar a paridade de .

Resposta

(a) é ímpar.
(b) é par.
© Não é possível determinar a paridade de apenas sabendo que é par.

Exercícios relacionados

Mostre que as seguintes funções são bijetóras e encontre sua inversa:
(a) , para ;
(b) .
Determine domínio e imagem das funções a seguir:
(a)
(b)
©
(d)
Mostre que se e são funções ímpares então e também são ímpares, porém e (em seu domínio) resultam ser pares.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) ;
(b) ;
©
(d) .