Mostre que se e são funções ímpares então e também são ímpares, porém e (em seu domínio) resultam ser pares.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e , que são funções ímpares. Precisamos mostrar que:
A soma e a diferença também são funções ímpares.
O produto e o quociente (onde estiver definido) são funções pares.
Para isso, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares e como elas se comportam quando combinamos funções ímpares usando soma, subtração, multiplicação e divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições:
Função Ímpar: Uma função é ímpar se, para todo no domínio de , vale que .
Função Par: Uma função é par se, para todo no domínio de , vale que .
Como e são ímpares, temos:
Passo 3
Vamos começar mostrando que é ímpar.
Calculando :
Isso satisfaz a definição de função ímpar, então é ímpar.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que também é ímpar.
Calculando :
Isso também satisfaz a definição de função ímpar, então é ímpar.
Passo 5
Agora, vamos verificar se é par.
Calculando :
Isso satisfaz a definição de função par, então é par.
Passo 6
Por fim, vamos mostrar que é par, assumindo que .
Calculando :
Isso também satisfaz a definição de função par, então é par no seu domínio.
Resposta
Portanto, se e são funções ímpares, então e também são ímpares, e e são funções pares (onde ).