Mostre que se e são funções ímpares então e também são ímpares, porém e (em seu domínio) resultam ser pares.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e , que são funções ímpares. Precisamos mostrar que:
  1. A soma e a diferença também são funções ímpares.
  2. O produto e o quociente (onde estiver definido) são funções pares.
Para isso, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares e como elas se comportam quando combinamos funções ímpares usando soma, subtração, multiplicação e divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições:
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se, para todo no domínio de , vale que .
  • Função Par: Uma função é par se, para todo no domínio de , vale que .
Como e são ímpares, temos:

Passo 3

Vamos começar mostrando que é ímpar.
Calculando :
Isso satisfaz a definição de função ímpar, então é ímpar.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que também é ímpar.
Calculando :
Isso também satisfaz a definição de função ímpar, então é ímpar.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é par.
Calculando :
Isso satisfaz a definição de função par, então é par.

Passo 6

Por fim, vamos mostrar que é par, assumindo que .
Calculando :
Isso também satisfaz a definição de função par, então é par no seu domínio.

Resposta

Portanto, se e são funções ímpares, então e também são ímpares, e e são funções pares (onde ).

Exercícios relacionados

Determine a paridade de quando:
(a) e são ímpares.
(b) par e ímpar.
© é par
Mostre que as seguintes funções são bijetóras e encontre sua inversa:
(a) , para ;
(b) .
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) ;
(b) ;
©
(d) .
Represente graficamente os seguintes conjuntos de números reais:
(a) ,
(b) ,
© ,
(d)
(e) , observe que este conjunto representa a todos aqueles pontos que distam de em menos de . Qual é a amplitude deste intervalo?