Mostre que se
e
são funções ímpares então
e
também são ímpares, porém
e
(em seu domínio) resultam ser pares.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
, que são funções ímpares. Precisamos mostrar que:
- A soma
e a diferença também são funções ímpares. - O produto
e o quociente (onde estiver definido) são funções pares.
Para isso, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares e como elas se comportam quando combinamos funções ímpares usando soma, subtração, multiplicação e divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições:
- Função Ímpar: Uma função
é ímpar se, para todo no domínio de , vale que . - Função Par: Uma função
é par se, para todo no domínio de , vale que .
Como
e
são ímpares, temos:
Passo 3
Vamos começar mostrando que
é ímpar.
Calculando
:
Isso satisfaz a definição de função ímpar, então
é ímpar.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
também é ímpar.
Calculando
:
Isso também satisfaz a definição de função ímpar, então
é ímpar.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é par.
Calculando
:
Isso satisfaz a definição de função par, então
é par.
Passo 6
Por fim, vamos mostrar que
é par, assumindo que
.
Calculando
:
Isso também satisfaz a definição de função par, então
é par no seu domínio.
Resposta
Portanto, se
e
são funções ímpares, então
e
também são ímpares, e
e
são funções pares (onde
).