Vamos entender o que a questão pede. Queremos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas, valor absoluto e translação de gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto: . Isso é uma função quadrática, que representa uma parábola. Nosso objetivo é entender onde essa expressão é positiva ou negativa, pois o valor absoluto vai influenciar o gráfico da função .
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da função quadrática . As raízes são os valores de que tornam a expressão igual a zero.
Fatorando a equação:
Portanto, as raízes são e .
Passo 4
Com as raízes encontradas, sabemos que a parábola corta o eixo nos pontos e . Isso nos ajuda a determinar onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa:
Para e , é positivo.
Para , é negativo.
Passo 5
Agora, vamos considerar o valor absoluto na função . O valor absoluto transforma qualquer valor negativo em positivo. Assim, nossa função será diferente dependendo do intervalo de :
Quando ou :
Aqui, a expressão dentro do valor absoluto é positiva, então subtraímos 1.
Quando :
Aqui, a expressão dentro do valor absoluto é negativa, então invertemos o sinal e subtraímos 1.
Passo 6
Vamos agora esboçar o gráfico considerando os dois casos:
Para e :
A função é uma parábola com concavidade para cima. Podemos encontrar o vértice dessa parábola usando a fórmula :
Substituindo na função:
Portanto, o vértice é em .
Para :
A função é uma parábola com concavidade para baixo. Encontramos o vértice:
Substituindo :
Então, o vértice é em .
Passo 7
Finalmente, juntamos as duas partes do gráfico:
Para e , temos uma parábola com concavidade para cima.
Para , temos uma parábola com concavidade para baixo.
Além disso, todo o gráfico é deslocado 1 unidade para baixo devido ao “-1” na função original.
Resposta
O gráfico de consiste em duas parábolas:
Para e : uma parábola com concavidade para cima, dada por , com vértice em .
Para : uma parábola com concavidade para baixo, dada por , com vértice em .
Além disso, o gráfico apresenta uma translação de 1 unidade para baixo. O esboço resultante forma uma espécie de “W” invertido, com pontos de encontro nas raízes e .