Esboce o gráfico das seguintes funções :
c)

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Queremos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas, valor absoluto e translação de gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto: . Isso é uma função quadrática, que representa uma parábola. Nosso objetivo é entender onde essa expressão é positiva ou negativa, pois o valor absoluto vai influenciar o gráfico da função .

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da função quadrática . As raízes são os valores de que tornam a expressão igual a zero.
Fatorando a equação:
Portanto, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, sabemos que a parábola corta o eixo nos pontos e . Isso nos ajuda a determinar onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa:
  • Para e , é positivo.
  • Para , é negativo.

Passo 5

Agora, vamos considerar o valor absoluto na função . O valor absoluto transforma qualquer valor negativo em positivo. Assim, nossa função será diferente dependendo do intervalo de :
  • Quando ou :
    Aqui, a expressão dentro do valor absoluto é positiva, então subtraímos 1.
  • Quando :
    Aqui, a expressão dentro do valor absoluto é negativa, então invertemos o sinal e subtraímos 1.

Passo 6

Vamos agora esboçar o gráfico considerando os dois casos:
  • Para e :
    A função é uma parábola com concavidade para cima. Podemos encontrar o vértice dessa parábola usando a fórmula :
    Substituindo na função:
    Portanto, o vértice é em .
  • Para :
    A função é uma parábola com concavidade para baixo. Encontramos o vértice:
    Substituindo :
    Então, o vértice é em .

Passo 7

Finalmente, juntamos as duas partes do gráfico:
  • Para e , temos uma parábola com concavidade para cima.
  • Para , temos uma parábola com concavidade para baixo.
  • Além disso, todo o gráfico é deslocado 1 unidade para baixo devido ao “-1” na função original.

Resposta

O gráfico de consiste em duas parábolas:
  1. Para e : uma parábola com concavidade para cima, dada por , com vértice em .
  2. Para : uma parábola com concavidade para baixo, dada por , com vértice em .
Além disso, o gráfico apresenta uma translação de 1 unidade para baixo. O esboço resultante forma uma espécie de “W” invertido, com pontos de encontro nas raízes e .

Exercícios relacionados

(e)
.
(a)
Escreva:
c) como uma potência de 5 .