Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
(l) z = raiz(1 + x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função usando curvas de nível. Isso envolve entender como as curvas de nível funcionam e como elas ajudam a visualizar o gráfico de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo de , a curva de nível é definida por .

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para facilitar o entendimento das curvas. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Essa é a equação de um círculo no plano com raio e centro na origem.

Passo 4

Agora, vamos interpretar o que isso significa. Cada curva de nível é um círculo com raio que depende do valor de . Para que o raio seja real, precisamos que , ou seja, .

Passo 5

Vamos desenhar algumas curvas de nível para diferentes valores de maiores ou iguais a 1:
  • Para : → Apenas o ponto (0,0).
  • Para : → Círculo com raio .
  • Para : → Círculo com raio .
    E assim por diante. Cada aumento em gera um círculo maior.

Passo 6

Com essas curvas de nível desenhadas, podemos visualizar como o gráfico da função se comporta. À medida que aumenta, os círculos se expandem, o que indica que o gráfico está se abrindo para cima, formando uma espécie de “cúpula”.

Resposta

O gráfico da função é uma superfície paraboloidal que se expande simetricamente a partir do ponto mais baixo em . As curvas de nível, que são círculos concêntricos com raios crescentes, ajudam a visualizar essa forma tridimensional que se abre para cima.

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