Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função
usando curvas de nível. Isso envolve entender como as curvas de nível funcionam e como elas ajudam a visualizar o gráfico de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo de
, a curva de nível é definida por
.
Passo 3
Vamos simplificar essa equação para facilitar o entendimento das curvas. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Essa é a equação de um círculo no plano
com raio
e centro na origem.
Passo 4
Agora, vamos interpretar o que isso significa. Cada curva de nível é um círculo com raio que depende do valor de
. Para que o raio seja real, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos desenhar algumas curvas de nível para diferentes valores de
maiores ou iguais a 1:
- Para
: → Apenas o ponto (0,0). - Para
: → Círculo com raio . - Para
: → Círculo com raio .
E assim por diante. Cada aumento emgera um círculo maior.
Passo 6
Com essas curvas de nível desenhadas, podemos visualizar como o gráfico da função
se comporta. À medida que
aumenta, os círculos se expandem, o que indica que o gráfico está se abrindo para cima, formando uma espécie de “cúpula”.
Resposta
O gráfico da função
é uma superfície paraboloidal que se expande simetricamente a partir do ponto mais baixo em
. As curvas de nível, que são círculos concêntricos com raios crescentes, ajudam a visualizar essa forma tridimensional que se abre para cima.