Nos itens abaixo, determine o domínio, descreva as curvas de nível e represente graficamente as superfícies
f(x, y) = e^x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos descobrir três coisas:
  1. Domínio: Onde essa função está definida, ou seja, para quais valores de e ela existe.
  2. Curvas de nível: São as curvas no plano onde a função assume um valor constante.
  3. Representação gráfica da superfície: Como essa função se parece em um gráfico 3D.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de várias variáveis, entender o que define o domínio e como traçar curvas de nível e gráficos tridimensionais.

Passo 2

Dominio da função
Primeiro, o que é o domínio? É o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida.
A função exponencial está definida para todo número real . Não há restrições quanto ao porque não aparece na expressão da função. Então, o domínio é:
í
Ou seja, qualquer valor de e serve!

Passo 3

Curvas de nível da função
Curvas de nível são onde a função é igual a uma constante . Então:
Para encontrar em termos de :
Isso nos mostra que, para cada valor positivo de , a curva de nível é uma linha vertical no plano onde .
Então, as curvas de nível são linhas paralelas às réguas do eixo , deslocadas de acordo com o valor de .

Passo 4

Representação gráfica da superfície
Para visualizar a superfície, pense que para cada ponto , a altura é dada por . Isso significa que:
  • À medida que aumenta, aumenta exponencialmente.
  • O valor de não afeta , então a superfície é a mesma para qualquer valor de .
Visualmente, a superfície parece com uma “parede” vertical que se eleva exponencialmente conforme aumenta, estendendo-se infinitamente ao longo do eixo .

Resposta

  1. Domínio: Todos os números reais para e , ou seja, .
  2. Curvas de nível: Linhas verticais no plano onde para cada constante .
  3. Gráfico da superfície: Uma superfície que cresce exponencialmente na direção positiva de e se estende uniformemente ao longo do eixo .

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