Nos itens abaixo, determine o domínio, descreva as curvas de nível e represente graficamente as superfícies
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos descobrir três coisas:
- Domínio: Onde essa função está definida, ou seja, para quais valores de
e ela existe. - Curvas de nível: São as curvas no plano
onde a função assume um valor constante. - Representação gráfica da superfície: Como essa função se parece em um gráfico 3D.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de várias variáveis, entender o que define o domínio e como traçar curvas de nível e gráficos tridimensionais.
Passo 2
Dominio da função
Primeiro, o que é o domínio? É o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida.
A função exponencial
está definida para todo número real
. Não há restrições quanto ao
porque
não aparece na expressão da função. Então, o domínio é:
Ou seja, qualquer valor de
e
serve!
Passo 3
Curvas de nível da função
Curvas de nível são onde a função
é igual a uma constante
. Então:
Para encontrar
em termos de
:
Isso nos mostra que, para cada valor positivo de
, a curva de nível é uma linha vertical no plano
onde
.
Então, as curvas de nível são linhas paralelas às réguas do eixo
, deslocadas de acordo com o valor de
.
Passo 4
Representação gráfica da superfície
Para visualizar a superfície, pense que para cada ponto
, a altura
é dada por
. Isso significa que:
- À medida que
aumenta, aumenta exponencialmente. - O valor de
não afeta , então a superfície é a mesma para qualquer valor de .
Visualmente, a superfície parece com uma “parede” vertical que se eleva exponencialmente conforme
aumenta, estendendo-se infinitamente ao longo do eixo
.
Resposta
- Domínio: Todos os números reais para
e , ou seja, . - Curvas de nível: Linhas verticais no plano
onde para cada constante . - Gráfico da superfície: Uma superfície que cresce exponencialmente na direção positiva de
e se estende uniformemente ao longo do eixo .