Esboce os gráficos das extensōes periódicas par e ímpar de períodos da função dada em um intervalo de três períodos.
Encontre as séries de Fourier em co-senos e senos da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O exercício pede duas coisas:
Esboçar os gráficos das extensões periódicas par e ímpar com período em um intervalo de três períodos.
Encontrar as séries de Fourier em co-senos e senos da função dada.
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de extensões par e ímpar de uma função, periodicidade, e as séries de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre extensões periódicas par e ímpar.
Extensão Par: Uma função é par se . Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Extensão Ímpar: Uma função é ímpar se . Isso faz com que o gráfico seja simétrico em relação à origem.
Vamos criar essas extensões a partir da nossa função com período . Pelo enunciado, , então o período será .
Passo 3
Vamos construir o gráfico da extensão periódica par .
Definindo o períoddo: Como o período é 4, vamos desenhar a função no intervalo de a , que cobre três períodos ( a , a ).
Simetria Par: Para cada em , . Então, onde para , teremos para . E onde para , para .
Repetição periódica: Esse padrão se repete a cada 4 unidades.
Passo 4
Agora, vamos fazer o gráfico da extensão periódica ímpar .
Definindo o períoddo: Também com período 4, no intervalo de a .
Simetria Ímpar: Para cada em , . Então, onde para , teremos para . E onde para , para .
Repetição periódica: Esse padrão também se repete a cada 4 unidades.
Passo 5
Com os gráficos das extensões par e ímpar prontos, vamos para a segunda parte: encontrar as séries de Fourier.
A Série de Fourier expressa uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. Dependendo da simetria da função (par ou ímpar), a série pode conter apenas cossenos ou apenas senos.
Para a extensão par : A série de Fourier terá apenas termos de cossenos (cosenos formam funções pares).
Para a extensão ímpar : A série de Fourier terá apenas termos de senos (senos formam funções ímpares).
Passo 6
Vamos calcular a série de Fourier em cossenos para a extensão par .
A fórmula geral para a série de cossenos é:
Onde os coeficientes são dados por:
Com , temos:
Passo 7
Calculando :
Dividimos a integral em duas partes com base na definição de :
Passo 8
Calculando :
Usamos integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os termos:
Passo 9
Simplificando, obtemos:
Essa é a expressão geral dos coeficientes para .
Passo 10
Portanto, a série de Fourier em cossenos para é:
Com .
Passo 11
Agora, vamos calcular a série de Fourier em senos para a extensão ímpar .
A fórmula geral para a série de senos é:
Onde os coeficientes são dados por:
Com , temos:
Passo 12
Calculando :
Novamente, usamos integração por partes:
Aplicando a fórmula:
Passo 13
Portanto, a s��rie de Fourier em senos para é:
Resposta
Finalizamos a resolução! As séries de Fourier para a função dada são:
Extensão Par :
Extensão Ímpar :
Essas séries representam a função original estendida de forma par e ímpar em três períodos completos.