Esboce os gráficos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Esse tipo de função pertence à matéria de funções logarítmicas. Para fazer isso, vamos precisar entender algumas características básicas dos gráficos de logaritmos, como domínio, imagem, interceptos e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como estamos lidando com um logaritmo, o argumento dentro dele
precisa ser positivo. Então, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos procurar pelo intercepto com o eixo
. Isso acontece quando
, porque:
Logo, o ponto
está no gráfico.
Passo 4
Vamos identificar a assíntota vertical. Para funções logarítmicas, sempre há uma assíntota vertical no ponto onde o argumento do logaritmo é zero. Nesse caso:
Isso significa que o gráfico se aproxima desse valor, mas nunca toca ou cruza o eixo
nesse ponto.
Passo 5
Vamos calcular mais alguns pontos para ter uma ideia melhor do formato do gráfico. Por exemplo:
Esses pontos nos ajudam a desenhar a curva de forma mais precisa.
Passo 6
Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
- Desenhe a assíntota vertical em
. - Marque os pontos que encontramos:
, , , e . - Conecte os pontos com uma curva suave que se aproxima da assíntota vertical, passando pelos pontos marcados.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva que passa pelos pontos
,
,
, e
, com uma assíntota vertical em
. A curva aumenta lentamente à medida que
aumenta e se aproxima da assíntota à medida que
se aproxima de zero pelo lado positivo.
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Nos Problemas 31 e 32,
é um ponto singular regular da equação diferencial indicada. Mostre que as raízes indiciais da singularidade diferem por um inteiro. Use a relação de recorrência determinada pelo método de Frobenius primeiro com a maior raiz
. Quantas soluções você obteve? A seguir, use a relação de recorrência com a menor raiz
. Quantas soluções você obteve?
Esboce os gráficos das funções abaixo.
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