Esboce os gráficos das funções e calcule os limites indicados, caso existirem. Nos casos em que o limite não existir, explique o porquê.
a)
, onde
a)
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar os gráficos da função
definida por partes e calcular o limite
. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções exponencial
e logaritmo natural
, além de saber calcular limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar os gráficos das duas partes da função.
-
Para
: A função é . Sabemos que é uma exponencial crescente que passa pelo ponto e se aproxima de zero à medida que vai para menos infinito. -
Para
: A função é . O logaritmo natural está definido apenas para , passa pelo ponto e cresce lentamente à medida que aumenta, indo para menos infinito quando se aproxima de zero pela direita.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite
. Para isso, precisamos analisar os limites laterais:
- Limite pela esquerda (
): Onde se aproxima de 0 vindo dos valores negativos. - Limite pela direita (
): Onde se aproxima de 0 vindo dos valores positivos.
Passo 4
Calculando o limite pela esquerda:
Para
,
.
Então, o limite pela esquerda é 1.
Passo 5
Calculando o limite pela direita:
Para
,
.
Portanto, o limite pela direita tende a menos infinito.
Passo 6
Comparando os limites laterais:
Como os limites laterais não são iguais (um é um número finito e o outro tende ao infinito negativo), o limite geral
não existe.
Resposta
O limite
não existe porque, à esquerda de 0, o limite é 1, e à direita, tende a
.