Esboce os gráficos das funções e calcule os limites indicados, caso existirem. Nos casos em que o limite não existir, explique o porquê.
a) lim x 0 f(x), onde f(x)=lle^x & se x <= 0 ln (x) & se x>0

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar os gráficos da função f(x) = e^x, & se x <= 0 ln(x), & se x > 0 definida por partes e calcular o limite . A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções exponencial e logaritmo natural , além de saber calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar os gráficos das duas partes da função.
  • Para : A função é . Sabemos que é uma exponencial crescente que passa pelo ponto e se aproxima de zero à medida que vai para menos infinito.
  • Para : A função é . O logaritmo natural está definido apenas para , passa pelo ponto e cresce lentamente à medida que aumenta, indo para menos infinito quando se aproxima de zero pela direita.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite . Para isso, precisamos analisar os limites laterais:
  • Limite pela esquerda ( ): Onde se aproxima de 0 vindo dos valores negativos.
  • Limite pela direita ( ): Onde se aproxima de 0 vindo dos valores positivos.

Passo 4

Calculando o limite pela esquerda:
Para limx 0^- e^x = e^0 = 1 , .
Então, o limite pela esquerda é 1.

Passo 5

Calculando o limite pela direita:
Para limx 0^+ ln(x) = -infty , .
Portanto, o limite pela direita tende a menos infinito.

Passo 6

Comparando os limites laterais:
limx 0^- f(x) = 1 e limx 0^+ f(x) = -infty
Como os limites laterais não são iguais (um é um número finito e o outro tende ao infinito negativo), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque, à esquerda de 0, o limite é 1, e à direita, tende a .

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