Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão: f(x) = x / (1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a função em relação à concavidade e aos pontos de inflexão. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente a segunda derivada. Vamos precisar encontrar a primeira e a segunda derivada da função para entender como ela se comporta em termos de concavidade e onde ela muda essa concavidade, que são os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo. Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz:
Aqui, e . Calculando e :
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos achar a segunda derivada . A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da função. Se , a função é côncava para cima; se , é côncava para baixo. Além disso, pontos onde muda de sinal são pontos de inflexão.
Para derivar , novamente usamos a regra do quociente. Seja e . Calculando e :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Vamos analisar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para determinar a concavidade:
O denominador é sempre positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo e elevado a uma potência permanece positivo. Então, o sinal de depende apenas do numerador .
Vamos encontrar os valores de que fazem o numerador ser zero:
Estes são os candidatos a pontos de inflexão. Agora, vamos verificar os intervalos para o sinal de :
  1. Para : negativo, positivo (já que ), então negativo.
  2. Para : negativo, negativo, então positivo.
  3. Para : positivo, negativo, então negativo.
  4. Para : positivo, positivo, então positivo.

Passo 5

Com base nisso:
  • Concavidade para cima quando :
    • Intervalo
    • Intervalo
  • Concavidade para baixo quando :
    • Intervalo
    • Intervalo
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão:

Resposta

A função é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo nos intervalos e . Os pontos de inflexão ocorrem em , e .

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