Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a função
em relação à concavidade e aos pontos de inflexão. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente a segunda derivada. Vamos precisar encontrar a primeira e a segunda derivada da função para entender como ela se comporta em termos de concavidade e onde ela muda essa concavidade, que são os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo. Para derivar
, vamos usar a regra do quociente, que diz:
Aqui,
e
. Calculando
e
:
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos achar a segunda derivada
. A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da função. Se
, a função é côncava para cima; se
, é côncava para baixo. Além disso, pontos onde
muda de sinal são pontos de inflexão.
Para derivar
, novamente usamos a regra do quociente. Seja
e
. Calculando
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Vamos analisar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para determinar a concavidade:
O denominador
é sempre positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo e elevado a uma potência permanece positivo. Então, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Vamos encontrar os valores de
que fazem o numerador ser zero:
Estes são os candidatos a pontos de inflexão. Agora, vamos verificar os intervalos para o sinal de
:
- Para
: negativo, positivo (já que ), então negativo. - Para
: negativo, negativo, então positivo. - Para
: positivo, negativo, então negativo. - Para
: positivo, positivo, então positivo.
Passo 5
Com base nisso:
-
Concavidade para cima quando
: - Intervalo
- Intervalo
- Intervalo
-
Concavidade para baixo quando
: - Intervalo
- Intervalo
- Intervalo
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão:
Resposta
A função
é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo nos intervalos
e
. Os pontos de inflexão ocorrem em
,
e
.