Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
. Vamos trabalhar com funções exponenciais, que são aquelas em que a variável está no expoente. Para fazer isso, vamos precisar entender como o gráfico se comporta, identificar pontos importantes e traçar a curva com base nessas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto de interceptação com o eixo y. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o gráfico cruza o eixo y no ponto (0, 1).
Passo 3
Agora, vamos encontrar alguns pontos adicionais para entender melhor como a função se comporta. Vamos calcular valores de
para alguns valores de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Esses pontos nos mostram que, conforme
aumenta,
diminui, e conforme
diminui,
aumenta.
Passo 4
Vamos falar sobre a assíntota horizontal. Para funções exponenciais da forma
, onde
, o gráfico se aproxima cada vez mais de
mas nunca toca esse eixo. Isso significa que
é uma assíntota horizontal.
Passo 5
Agora, vamos considerar o comportamento da função:
- Quando
aumenta (vai para ), diminui e se aproxima de 0. - Quando
diminui (vai para ), aumenta sem limite.
Esse comportamento é típico de funções exponenciais com base entre 0 e 1, como a nossa
.
Passo 6
Vamos resumir os elementos que vamos usar para esboçar o gráfico:
- Interceptação com o eixo y: (0, 1)
- Pontos adicionais: (1, 0,33), (2, 0,11), (-1, 3), (-2, 9)
- Assíntota horizontal:
- Comportamento: Decresce à medida que
aumenta e cresce à medida que diminui.
Resposta
Com base nas informações obtidas, o gráfico da função
é uma curva decrescente que passa pelo ponto (0, 1), se aproxima da assíntota
conforme
aumenta, e cresce sem limites conforme
diminui. Os pontos adicionais como (1, 0,33), (2, 0,11), (-1, 3) e (-2, 9) ajudam a desenhar a curva de forma mais precisa.