Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
f: R -> R dada por f(x) = (1/3)^x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função . Vamos trabalhar com funções exponenciais, que são aquelas em que a variável está no expoente. Para fazer isso, vamos precisar entender como o gráfico se comporta, identificar pontos importantes e traçar a curva com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto de interceptação com o eixo y. Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o gráfico cruza o eixo y no ponto (0, 1).

Passo 3

Agora, vamos encontrar alguns pontos adicionais para entender melhor como a função se comporta. Vamos calcular valores de para alguns valores de :
Para :
Para :
Para :
Para :
Esses pontos nos mostram que, conforme aumenta, diminui, e conforme diminui, aumenta.

Passo 4

Vamos falar sobre a assíntota horizontal. Para funções exponenciais da forma , onde , o gráfico se aproxima cada vez mais de mas nunca toca esse eixo. Isso significa que é uma assíntota horizontal.

Passo 5

Agora, vamos considerar o comportamento da função:
  • Quando aumenta (vai para ), diminui e se aproxima de 0.
  • Quando diminui (vai para ), aumenta sem limite.
Esse comportamento é típico de funções exponenciais com base entre 0 e 1, como a nossa .

Passo 6

Vamos resumir os elementos que vamos usar para esboçar o gráfico:
  • Interceptação com o eixo y: (0, 1)
  • Pontos adicionais: (1, 0,33), (2, 0,11), (-1, 3), (-2, 9)
  • Assíntota horizontal:
  • Comportamento: Decresce à medida que aumenta e cresce à medida que diminui.

Resposta

Com base nas informações obtidas, o gráfico da função é uma curva decrescente que passa pelo ponto (0, 1), se aproxima da assíntota conforme aumenta, e cresce sem limites conforme diminui. Os pontos adicionais como (1, 0,33), (2, 0,11), (-1, 3) e (-2, 9) ajudam a desenhar a curva de forma mais precisa.

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