Das funções abaixo encontre:
- os valores
do domínio da função tal que
. (ou seja, se
então o ponto
pertence ao eixo
(eixo das abscissas));
- o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de
) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto
pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
- os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos
tais que para todo
temos que
, e para todo
,
. Devemos encontrar
e
.
Construa o gráfico das funções. Seja
dada por
.
Construa o gráfico das funções. Seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
definida para todos os números reais (
). Vamos precisar usar conceitos de funções lineares, raízes da função, valor da função em um ponto específico, e análise de sinais para descobrir onde a função é positiva ou negativa. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
no domínio da função onde
. Isso significa resolver a equação:
Para resolver isso, queremos isolar o
. Então, dividimos ambos os lados por
:
Portanto, o único valor de
que faz
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função quando
, ou seja,
. Substituindo
por 0 na função:
Como o 0 está no domínio da função (que é todos os números reais),
.
Passo 4
Vamos identificar onde a função é positiva e onde é negativa. A função
é uma função linear que depende do sinal de
:
-
Quando
: Isso porque multiplicar um número positivo por -6 resulta em um número negativo. Então, para todos osmaiores que 0, é negativo. -
Quando
: Aqui, multiplicar um número negativo por -6 dá um número positivo. Assim, para todos osmenores que 0, é positivo.
Portanto, os conjuntos são:
-
onde -
onde
Passo 5
Por fim, vamos pensar no gráfico da função
. Essa é uma linha reta contínua que passa pela origem
. A inclinação da reta é -6, o que significa que para cada aumento de 1 unidade em
,
diminui 6 unidades.
- Quando
é positivo, o valor de é negativo, então a reta desce. - Quando
é negativo, o valor de é positivo, então a reta sobe.
Isso resulta em uma linha que atravessa o segundo e quarto quadrantes do plano cartesiano.
Resposta
- Os valores de
que fazem são . -
. - A função é positiva para todos os
e negativa para todos os . - O gráfico da função é uma linha reta que passa pela origem com inclinação negativa, subindo à esquerda e descendo à direita.