Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = -6 x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida para todos os números reais ( ). Vamos precisar usar conceitos de funções lineares, raízes da função, valor da função em um ponto específico, e análise de sinais para descobrir onde a função é positiva ou negativa. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de no domínio da função onde . Isso significa resolver a equação:
Para resolver isso, queremos isolar o . Então, dividimos ambos os lados por :
Portanto, o único valor de que faz é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função quando , ou seja, . Substituindo por 0 na função:
Como o 0 está no domínio da função (que é todos os números reais), .

Passo 4

Vamos identificar onde a função é positiva e onde é negativa. A função é uma função linear que depende do sinal de :
  • Quando :
    Isso porque multiplicar um número positivo por -6 resulta em um número negativo. Então, para todos os maiores que 0, é negativo.
  • Quando :
    Aqui, multiplicar um número negativo por -6 dá um número positivo. Assim, para todos os menores que 0, é positivo.
Portanto, os conjuntos são:
  • onde
  • onde

Passo 5

Por fim, vamos pensar no gráfico da função . Essa é uma linha reta contínua que passa pela origem . A inclinação da reta é -6, o que significa que para cada aumento de 1 unidade em , diminui 6 unidades.
  • Quando é positivo, o valor de é negativo, então a reta desce.
  • Quando é negativo, o valor de é positivo, então a reta sobe.
Isso resulta em uma linha que atravessa o segundo e quarto quadrantes do plano cartesiano.

Resposta

  • Os valores de que fazem são .
  • .
  • A função é positiva para todos os e negativa para todos os .
  • O gráfico da função é uma linha reta que passa pela origem com inclinação negativa, subindo à esquerda e descendo à direita.

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