Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
dada por
;
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é o desafio de esboçar o gráfico da função exponencial
. Vamos trabalhar com funções exponenciais, que são muito importantes na matemática e aparecem em várias situações, como crescimento populacional e juros compostos. Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e quais são seus pontos chave.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. Como
está definida para qualquer número real
, o domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar alguns valores específicos da função para ter pontos que nos ajudem a desenhar o gráfico. Vamos calcular
para alguns valores de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Esses pontos nos dão uma ideia de como a função cresce quando
aumenta e decresce quando
diminui.
Passo 4
Vamos identificar agora a assíntota da função. As funções exponenciais como
têm uma assíntota horizontal na linha
. Isso significa que, conforme
vai para menos infinito,
se aproxima cada vez mais de 0, mas nunca toca o eixo
.
Passo 5
Também é importante notar que o gráfico de
sempre estará acima do eixo
, ou seja,
para todo
. Isso ocorre porque uma base positiva elevada a qualquer potência nunca será negativa.
Passo 6
Com esses pontos e informações, podemos desenhar o gráfico:
- Plote os pontos que calculamos: (0,1), (1,3), (2,9), (-1,1/3), (-2,1/9).
- Desenhe a assíntota horizontal na linha
. - Conecte os pontos suavemente, mostrando a curva crescente à direita e a aproximação da assíntota à esquerda.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva exponencial crescente que passa pelos pontos (0,1), (1,3), (2,9), (-1,1/3) e (-2,1/9), nunca tocando o eixo
e aproximando-se da linha
conforme
diminui. A curva sobe rapidamente à medida que
aumenta.