Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
f: R -> R dada por f(x) = 3^x;

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é o desafio de esboçar o gráfico da função exponencial . Vamos trabalhar com funções exponenciais, que são muito importantes na matemática e aparecem em várias situações, como crescimento populacional e juros compostos. Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e quais são seus pontos chave.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. Como está definida para qualquer número real , o domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar alguns valores específicos da função para ter pontos que nos ajudem a desenhar o gráfico. Vamos calcular para alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Esses pontos nos dão uma ideia de como a função cresce quando aumenta e decresce quando diminui.

Passo 4

Vamos identificar agora a assíntota da função. As funções exponenciais como têm uma assíntota horizontal na linha . Isso significa que, conforme vai para menos infinito, se aproxima cada vez mais de 0, mas nunca toca o eixo .

Passo 5

Também é importante notar que o gráfico de sempre estará acima do eixo , ou seja, para todo . Isso ocorre porque uma base positiva elevada a qualquer potência nunca será negativa.

Passo 6

Com esses pontos e informações, podemos desenhar o gráfico:
  1. Plote os pontos que calculamos: (0,1), (1,3), (2,9), (-1,1/3), (-2,1/9).
  2. Desenhe a assíntota horizontal na linha .
  3. Conecte os pontos suavemente, mostrando a curva crescente à direita e a aproximação da assíntota à esquerda.

Resposta

O gráfico da função é uma curva exponencial crescente que passa pelos pontos (0,1), (1,3), (2,9), (-1,1/3) e (-2,1/9), nunca tocando o eixo e aproximando-se da linha conforme diminui. A curva sobe rapidamente à medida que aumenta.

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