Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = 2 x^2 - 4 x + 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções quadráticas. A gente precisa encontrar:
  1. Os valores de onde .
  2. O valor da função em , ou seja, calcular .
  3. Os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa.
  4. Construir o gráfico da função.
A função que estamos trabalhando é . Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra para encontrar as raízes, calcular o valor no ponto 0, analisar o sinal da função e, por fim, desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de onde . Isso significa resolver a equação:
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos calcular o discriminante ( ) primeiro:
Como o discriminante é negativo ( ), isso significa que não existem raízes reais para a função. Ou seja, a função nunca cruza o eixo .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função em , ou seja, :
Então, . Como pertence ao domínio da função, o ponto está no eixo .

Passo 5

Vamos determinar onde a função é positiva ou negativa. Sabemos que uma função quadrática da forma com tem uma concavidade para cima.
Como não existem raízes reais, a função nunca toca o eixo . Além disso, como , a função está sempre acima do eixo . Portanto:
E não existe intervalo onde .

Passo 6

Por fim, para construir o gráfico da função :
  1. Sabemos que a parábola tem concavidade para cima.
  2. Não possui interseções com o eixo .
  3. O ponto está no eixo .
  4. O vértice pode ser encontrado usando a fórmula :
Calculando :
Portanto, o vértice é .

Resposta

  1. Não existem valores de que fazem .
  2. .
  3. A função é positiva para todo e nunca é negativa.
  4. O gráfico é uma parábola com concavidade para cima, vértice em e ponto no eixo em .

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