Das funções abaixo encontre:
- os valores
do domínio da função tal que
. (ou seja, se
então o ponto
pertence ao eixo
(eixo das abscissas));
- o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de
) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto
pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
- os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos
tais que para todo
temos que
, e para todo
,
. Devemos encontrar
e
.
Construa o gráfico das funções. Seja
dada por
.
Construa o gráfico das funções. Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções quadráticas. A gente precisa encontrar:
- Os valores de
onde . - O valor da função em
, ou seja, calcular . - Os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa.
- Construir o gráfico da função.
A função que estamos trabalhando é
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra para encontrar as raízes, calcular o valor no ponto 0, analisar o sinal da função e, por fim, desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
onde
. Isso significa resolver a equação:
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante (
) primeiro:
Como o discriminante é negativo (
), isso significa que não existem raízes reais para a função. Ou seja, a função nunca cruza o eixo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função em
, ou seja,
:
Então,
. Como
pertence ao domínio da função, o ponto
está no eixo
.
Passo 5
Vamos determinar onde a função é positiva ou negativa. Sabemos que uma função quadrática da forma
com
tem uma concavidade para cima.
Como não existem raízes reais, a função nunca toca o eixo
. Além disso, como
, a função está sempre acima do eixo
. Portanto:
E não existe intervalo onde
.
Passo 6
Por fim, para construir o gráfico da função
:
- Sabemos que a parábola tem concavidade para cima.
- Não possui interseções com o eixo
. - O ponto
está no eixo . - O vértice pode ser encontrado usando a fórmula
:
Calculando
:
Portanto, o vértice é
.
Resposta
- Não existem valores de
que fazem . -
. - A função é positiva para todo
e nunca é negativa. - O gráfico é uma parábola com concavidade para cima, vértice em
e ponto no eixo em .