As funções
e
têm o domínio comum
, para todo
. Estabeleça um intervalo tal que
e calcule a área entre os dois gráficos destas funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas funções:
e
. Nosso objetivo é encontrar o intervalo onde
é maior ou igual a
e, depois, calcular a área entre os gráficos dessas duas funções nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar funções exponenciais e suas raízes, além de calcular integrais para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde
. Isso significa resolver a equação:
Para resolver isso, vamos igualar os expoentes. Sabemos que
, então podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Isso implica que:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
é um número natural (
), descartamos
e temos
. Portanto, as funções
e
se igualam quando
.
Passo 3
Agora, vamos analisar onde
. Considerando que
é um número natural maior ou igual a 1, vejamos alguns casos:
-
Quando
: e , então para todo . Nesse caso, as duas funções coincidem e a área entre elas é zero. -
Quando
: Vamos comparar as funçõese . Para : - Se
, , então . - Se
, . - Se
, , então .
- Se
Portanto, o intervalo onde
é
.
Passo 4
Agora que temos o intervalo
, vamos calcular a área entre as duas funções nesse intervalo. A área entre duas curvas
e
de
a
é dada por:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Portanto, a área é:
Calculando em
:
Em
, ambos os termos são zero.
Resposta
A área entre os gráficos das funções
e
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Verifique que
, para todo
.
Calcule as integrais abaixo. Associe as técnicas de integração apropriadas para os cálculos de cada uma delas.
Esboce a imagem das seguintes curvas
.
Determine o domínio
.