Verifique que
, para todo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar que as integrais
e
são iguais a zero para todo número inteiro
diferente de zero. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções trigonométricas em intervalos simétricos.
Passo 2
Vamos começar analisando a integral do cosseno:
A função cosseno é uma função par, o que significa que
. Quando integramos uma função par em um intervalo simétrico em torno de zero, podemos simplificar a integral da seguinte forma:
Agora, calculamos a integral de
:
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que
e
, então a expressão fica:
Portanto,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a integral do seno:
A função seno é uma função ímpar, o que significa que
. Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado da integral é sempre zero. Portanto:
Resposta
Ambas as integrais são iguais a zero para todo
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo. Associe as técnicas de integração apropriadas para os cálculos de cada uma delas.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 3, no ponto
e
da função
.
As funções
e
têm o domínio comum
, para todo
. Estabeleça um intervalo tal que
e calcule a área entre os dois gráficos destas funções.
Esboce a imagem das seguintes curvas
.