Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
e, com base nesse esboço, encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos, no domínio especificado. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre derivadas, para identificar esses pontos importantes na função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função definida no intervalo
:
Essa é uma parábola voltada para baixo (porque o coeficiente de
é negativo), cujo vértice representa o ponto máximo. Para encontrar o vértice, sabemos que para uma função da forma
, o vértice está em
. Neste caso,
e
, então:
Agora, calculamos
:
Então, temos um ponto máximo local em
com valor
.
Além disso, devemos verificar os valores nos limites do intervalo:
- Para
: - Para
(não inclusivo na primeira parte):
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função definida no intervalo
:
Essa também é uma parábola, mas voltada para cima (coeficiente de
é positivo), o que indica que o vértice será um ponto mínimo. Novamente, usando a fórmula do vértice
, com
e
:
Entretanto,
está dentro do intervalo
? Não, pois
é menor que 1. Isso significa que não há pontos críticos dentro desse intervalo. Portanto, devemos verificar os valores nos limites:
- Para
: - Para
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função é contínua em
, já que essa é a fronteira entre as duas partes da função.
- Limite pela esquerda (
se aproximando de 1 por valores menores que 1): - Limite pela direita (
se aproximando de 1 por valores maiores ou iguais a 1):
Como os limites são iguais e a função está definida como 1 em
, a função é contínua nesse ponto. Portanto, não há descontinuidades que possam gerar valores máximos ou mínimos adicionais.
Passo 5
Com todas as informações coletadas, podemos identificar os seguintes pontos importantes:
-
Na primeira parte (
): - Máximo local em
com - Valores nos extremos:
e
- Máximo local em
-
Na segunda parte (
): - Valor no extremo:
- Valor no extremo:
Resposta
Os valores máximos e mínimos da função
no domínio indicado são:
- Máximo local absoluto:
- Mínimos absolutos:
-
-
-
(Este é um máximo absoluto no segundo intervalo)
-
Exercícios relacionados
a.
Calcule os seguintes limites:
a.
.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função h: