Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):
d f(x) = { 2 - x^2, se -1 <= x < 1; 2x^2 - x, se 1 <= x <= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função e, com base nesse esboço, encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos, no domínio especificado. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre derivadas, para identificar esses pontos importantes na função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função definida no intervalo :
Essa é uma parábola voltada para baixo (porque o coeficiente de é negativo), cujo vértice representa o ponto máximo. Para encontrar o vértice, sabemos que para uma função da forma , o vértice está em . Neste caso, e , então:
Agora, calculamos :
Então, temos um ponto máximo local em com valor .
Além disso, devemos verificar os valores nos limites do intervalo:
  • Para :
  • Para (não inclusivo na primeira parte):

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função definida no intervalo :
Essa também é uma parábola, mas voltada para cima (coeficiente de é positivo), o que indica que o vértice será um ponto mínimo. Novamente, usando a fórmula do vértice , com e :
Entretanto, está dentro do intervalo ? Não, pois é menor que 1. Isso significa que não há pontos críticos dentro desse intervalo. Portanto, devemos verificar os valores nos limites:
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é contínua em , já que essa é a fronteira entre as duas partes da função.
  • Limite pela esquerda ( se aproximando de 1 por valores menores que 1):
  • Limite pela direita ( se aproximando de 1 por valores maiores ou iguais a 1):
Como os limites são iguais e a função está definida como 1 em , a função é contínua nesse ponto. Portanto, não há descontinuidades que possam gerar valores máximos ou mínimos adicionais.

Passo 5

Com todas as informações coletadas, podemos identificar os seguintes pontos importantes:
  • Na primeira parte ( ):
    • Máximo local em com
    • Valores nos extremos: e
  • Na segunda parte ( ):
    • Valor no extremo:

Resposta

Os valores máximos e mínimos da função no domínio indicado são:
  • Máximo local absoluto:
  • Mínimos absolutos:
    • (Este é um máximo absoluto no segundo intervalo)

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a. lim x 0 e^x-e^-xtg(x)
Calcule os seguintes limites:
k lim x +infty(1+1x^2)^x
a. h(t) = t * e^(-2 * t).
Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
d h(t) = t - e^(-t)