a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender o que acontece com as funções exponencial e a tangente quando
se aproxima de zero, além de aplicar algumas ferramentas de cálculo como a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0:
-
Numerador:
. Sabemos que quando é bem pequeno, pode ser aproximado por e por . Então, . -
Denominador:
, que é . Quando é próximo de 0, pode ser aproximado por .
Então, o limite fica aproximadamente:
Mas vamos formalizar isso usando a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular limites da forma
derivando o numerador e o denominador.
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos
nas funções derivadas:
Então, o limite fica:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):
a.
.