Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de que:
Mas atenção: no nosso caso, o termo dentro do parênteses é diferente, então vamos adaptar essa ideia.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos, porque isso facilita a manipulação de exponenciais. Vamos chamar o limite de
:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 3
Agora, vamos usar uma aproximação importante para logaritmos quando o argumento está próximo de 1. Sabemos que para
pequeno:
No nosso caso,
, que realmente fica bem pequeno quando
cresce.
Passo 4
Substituindo a aproximação na expressão:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 5
Agora, vamos calcular esse limite. Quando
tende ao infinito:
-
tende a 0 -
também tende a 0
Então:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
lembrando que
:
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
a.
Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):