Calcule os seguintes limites:
k lim x +infty(1+1x^2)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos:
limx +infty (1 + 1x^2)^x
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de que:
limx to infty (1 + ax)^x = e^a
Mas atenção: no nosso caso, o termo dentro do parênteses é diferente, então vamos adaptar essa ideia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos, porque isso facilita a manipulação de exponenciais. Vamos chamar o limite de L = limx to +infty (1 + 1x^2)^x :
ln L = limx to +infty x cdot ln (1 + 1x^2)
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos usar uma aproximação importante para logaritmos quando o argumento está próximo de 1. Sabemos que para ln(1 + y) approx y - y^22 pequeno:
No nosso caso, , que realmente fica bem pequeno quando cresce.

Passo 4

Substituindo a aproximação na expressão:
ln L approx limx to +infty x ( 1x^2 - 12x^4 )
Simplificando dentro dos parênteses:
ln L approx limx to +infty ( 1x - 12x^3 )

Passo 5

Agora, vamos calcular esse limite. Quando ln L = 0 tende ao infinito:
  • tende a 0
  • também tende a 0
Então:

Passo 6

Agora que temos L = e^0 = 1 , vamos encontrar lembrando que :

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
b. f(t) = t / ln(t)
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
c. tgh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))
a. lim x 0 e^x-e^-xtg(x)
Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):
d f(x) = { 2 - x^2, se -1 <= x < 1; 2x^2 - x, se 1 <= x <= 3 }