Um projétil é atirado horizontalmente ao longo da superfície da Terra. Mostre que em primeira aproximação a deflexão angular da Força de Coriolis relativa à direção de tiro varia linearmente com o tempo a uma taxa de
, onde
é a velocidade angular de rotação da Terra e
é a colatitude.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um projétil lançado horizontalmente na superfície da Terra. Precisamos mostrar que, em primeira aproximação, a deflexão angular da Força de Coriolis, em relação à direção do tiro, varia linearmente com o tempo na taxa de
, onde
é a velocidade angular de rotação da Terra e
é a colatitude. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Força de Coriolis e como ela afeta o movimento de um projétil na Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Força de Coriolis. Em um sistema de referência que está girando, como a Terra, a Força de Coriolis é uma força fictícia que atua sobre objetos em movimento, fazendo com que eles se desviem de sua trajetória original. A expressão matemática da Força de Coriolis é:
onde:
-
é a massa do projétil, -
é o vetor velocidade angular da Terra, -
é a velocidade do projétil em relação à Terra.
Passo 3
Como o projétil é lançado horizontalmente, sua velocidade inicial
está na direção horizontal. Vamos considerar um sistema de coordenadas onde o eixo
está na direção do lançamento, o eixo
está para o norte, e o eixo
aponta para cima. A velocidade angular da Terra,
, faz um ângulo
com o eixo
(colatitude).
Passo 4
Calculando o produto vetorial
, temos que a Força de Coriolis será perpendicular tanto a
quanto a
. Como
está na horizontal, a deflexão ocorrerá na direção perpendicular ao movimento inicial, ou seja, na direção norte-sul.
Passo 5
A magnitude da Força de Coriolis pode ser calculada como:
onde
é o ângulo entre
e
. No nosso caso,
, então
.
Passo 6
Substituindo
por
, a expressão da Força de Coriolis fica:
Passo 7
A aceleração de Coriolis,
, é dada por:
Como estamos interessados na deflexão angular, consideramos que a aceler ação angular
é:
Passo 8
No entanto, como estamos fazendo uma primeira aproximação e considerando pequenas deflexões, podemos simplificar para:
Isso mostra que a deflexão angular da Força de Coriolis varia linearmente com o tempo na taxa de
.
Resposta
A deflexão angular da Força de Coriolis varia linearmente com o tempo a uma taxa de
.