Um projétil é atirado horizontalmente ao longo da superfície da Terra. Mostre que em primeira aproximação a deflexão angular da Força de Coriolis relativa à direção de tiro varia linearmente com o tempo a uma taxa de omega cos theta, onde omega é a velocidade angular de rotação da Terra e theta é a colatitude.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um projétil lançado horizontalmente na superfície da Terra. Precisamos mostrar que, em primeira aproximação, a deflexão angular da Força de Coriolis, em relação à direção do tiro, varia linearmente com o tempo na taxa de omega cos theta, onde omega é a velocidade angular de rotação da Terra e theta é a colatitude. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Força de Coriolis e como ela afeta o movimento de um projétil na Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Força de Coriolis. Em um sistema de referência que está girando, como a Terra, a Força de Coriolis é uma força fictícia que atua sobre objetos em movimento, fazendo com que eles se desviem de sua trajetória original. A expressão matemática da Força de Coriolis é:
Fc = -2m omega times v
onde:
  • m é a massa do projétil,
  • omega é o vetor velocidade angular da Terra,
  • v é a velocidade do projétil em relação à Terra.

Passo 3

Como o projétil é lançado horizontalmente, sua velocidade inicial v está na direção horizontal. Vamos considerar um sistema de coordenadas onde o eixo x está na direção do lançamento, o eixo y está para o norte, e o eixo z aponta para cima. A velocidade angular da Terra, omega, faz um ângulo theta com o eixo z (colatitude).

Passo 4

Calculando o produto vetorial omega times v, temos que a Força de Coriolis será perpendicular tanto a omega quanto a v. Como v está na horizontal, a deflexão ocorrerá na direção perpendicular ao movimento inicial, ou seja, na direção norte-sul.

Passo 5

A magnitude da Força de Coriolis pode ser calculada como:
Fc = 2m omega v sin phi
onde phi é o ângulo entre omega e v. No nosso caso, phi = 90^circ - theta, então sin phi = cos theta.

Passo 6

Substituindo sin phi por cos theta, a expressão da Força de Coriolis fica:
Fc = 2m omega v cos theta

Passo 7

A aceleração de Coriolis, ac, é dada por:
ac = Fcm = 2 omega v cos theta
Como estamos interessados na deflexão angular, consideramos que a aceler ação angular alpha é:
alpha = acv = 2 omega cos theta

Passo 8

No entanto, como estamos fazendo uma primeira aproximação e considerando pequenas deflexões, podemos simplificar para:
alpha approx omega cos theta
Isso mostra que a deflexão angular da Força de Coriolis varia linearmente com o tempo na taxa de omega cos theta.

Resposta

A deflexão angular da Força de Coriolis varia linearmente com o tempo a uma taxa de omega cos theta.

Exercícios relacionados