Esboce a região de integração para a integral integral0^2 integralx^2^2 x(4 x+2) d x d y, e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla dada por:
integral0^2 integralx^2^2x (4x + 2) , dy , dx
O objetivo aqui é esboçar a região onde essa integração acontece e então reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e como mudar a ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração na integral original. A integral está sendo calculada para 0 <= x <= 2 e x^2 <= y <= 2x variando de 0 a 2, e para cada , varia de a .
Isso significa que a região de integração está definida por:

Passo 3

Agora, vamos esboçar essa região no plano . Primeiro, vamos desenhar as duas curvas que delimitam :
  1. : uma parábola que abre para cima.
  2. : uma linha reta que passa pela origem com inclinação 2.
Vamos traçar essas curvas no mesmo gráfico e ver onde elas se intersectam para entender melhor os limites.

Passo 4

Vamos encontrar o ponto de interseção entre x^2 = 2x implies x^2 - 2x = 0 implies x(x - 2) = 0 e resolvendo a equação:
Então, ou . Isso significa que as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 5

Com isso, sabemos que a região de integração está limitada entre e , e entre as curvas e . O gráfico fica assim:
  • A parábola começa na origem e sobe para cima.
  • A reta também começa na origem, mas sobe mais rapidamente.
A região de integração é a área entre essas duas curvas desde até .

Passo 6

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro e depois , vamos integrar primeiro e depois .
Para fazer isso, precisamos expressar os limites para em termos de . Observando as equações das curvas:
  • De , podemos resolver para : .
  • De , resolvendo para : .
Agora, para um dado , varia de a .

Passo 7

Também precisamos determinar os limites para . Observando os pontos de interseção:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, varia de 0 a 4.

Passo 8

Com todos esses detalhes, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^4 integraly2^raizy (4x + 2) , dx , dy

Resposta

A integral equivalente com a ordem de integração invertida é:
integral0^4 integraly2^raizy (4x + 2) , dx , dy

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