Esboce a região de integração para a integral
, e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla dada por:
O objetivo aqui é esboçar a região onde essa integração acontece e então reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e como mudar a ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração na integral original. A integral está sendo calculada para
variando de 0 a 2, e para cada
,
varia de
a
.
Isso significa que a região de integração está definida por:
Passo 3
Agora, vamos esboçar essa região no plano
. Primeiro, vamos desenhar as duas curvas que delimitam
:
-
: uma parábola que abre para cima. -
: uma linha reta que passa pela origem com inclinação 2.
Vamos traçar essas curvas no mesmo gráfico e ver onde elas se intersectam para entender melhor os limites.
Passo 4
Vamos encontrar o ponto de interseção entre
e
resolvendo a equação:
Então,
ou
. Isso significa que as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 5
Com isso, sabemos que a região de integração está limitada entre
e
, e entre as curvas
e
. O gráfico fica assim:
- A parábola
começa na origem e sobe para cima. - A reta
também começa na origem, mas sobe mais rapidamente.
A região de integração é a área entre essas duas curvas desde
até
.
Passo 6
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar
primeiro e depois
, vamos integrar
primeiro e depois
.
Para fazer isso, precisamos expressar os limites para
em termos de
. Observando as equações das curvas:
- De
, podemos resolver para : . - De
, resolvendo para : .
Agora, para um dado
,
varia de
a
.
Passo 7
Também precisamos determinar os limites para
. Observando os pontos de interseção:
- Quando
, . - Quando
, .
Então,
varia de 0 a 4.
Passo 8
Com todos esses detalhes, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A integral equivalente com a ordem de integração invertida é: