Calcular integral duplaD(x+3 y) d x d y, D sendo a região triangular de vértices (0,0),(1,1) e (2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde D é a região triangular com vértices em , e . Vamos precisar de conhecimentos de cálculo de integrais duplas e de como determinar os limites de integração para uma região triangular. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região D. Temos três pontos: , e . Se a gente plotar esses pontos no plano, percebe que formam um triângulo. Para facilitar a integração, vamos encontrar as equações das retas que formam os lados desse triângulo.

Passo 3

Vamos achar as equações das retas entre os pontos:
  1. De a :
    A inclinação é .
    Então, a equação é .
  2. De a :
    A inclinação é .
    Então, a equação é .
  3. De a :
    Esta é a base do triângulo, e a equação é .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Observando o triângulo:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até a reta superior correspondente.
No intervalo de de 0 a 1, a reta superior é .
No intervalo de de 1 a 2, a reta superior é .

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas:
integral duplaD(x + 3y) , dx , dy = integral0^1 integral0^x (x + 3y) , dy , dx + integral1^2 integral0^-x + 2 (x + 3y) , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^1 [ integral0^x (x + 3y) , dy ] dx
Integrando em relação a integral0^x x , dy + integral0^x 3y , dy = x cdot y |0^x + 32 y^2 |0^x = x^2 + 32x^2 = 52x^2 :
integral0^1 52x^2 , dx = 52 cdot x^33 |0^1 = 56
Agora, integrando em relação a integral1^2 [ integral0^-x + 2 (x + 3y) , dy ] dx :
integral0^-x + 2 x , dy + integral0^-x + 2 3y , dy = x cdot y |0^-x + 2 + 32 y^2 |0^-x + 2 = x(-x + 2) + 32(-x + 2)^2
Segunda integral:
-x^2 + 2x + 32(x^2 - 4x + 4) = -x^2 + 2x + 32x^2 - 6x + 6 = 12x^2 - 4x + 6
Integrando em relação a integral1^2 ( 12x^2 - 4x + 6 ) dx = 16x^3 - 2x^2 + 6x |1^2 :
( 86 - 8 + 12 ) - ( 16 - 2 + 6 ) = ( 43 + 4 ) - ( 16 + 4 ) = 163 - 256 = 76
Simplificando:
Agora, integrando em relação a :
Calculando:

Resposta

A integral dupla vale .

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