Calcular , D sendo a região triangular de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde D é a região triangular com vértices em , e . Vamos precisar de conhecimentos de cálculo de integrais duplas e de como determinar os limites de integração para uma região triangular. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região D. Temos três pontos: , e . Se a gente plotar esses pontos no plano, percebe que formam um triângulo. Para facilitar a integração, vamos encontrar as equações das retas que formam os lados desse triângulo.
Passo 3
Vamos achar as equações das retas entre os pontos:
De a :
A inclinação é .
Então, a equação é .
De a :
A inclinação é .
Então, a equação é .
De a :
Esta é a base do triângulo, e a equação é .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Observando o triângulo:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até a reta superior correspondente.
No intervalo de de 0 a 1, a reta superior é .
No intervalo de de 1 a 2, a reta superior é .
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Integrando em relação a :
Agora, integrando em relação a integral1^2 [ integral0^-x + 2 (x + 3y) , dy ] dx :
integral0^-x + 2 x , dy + integral0^-x + 2 3y , dy = x cdot y |0^-x + 2 + 32 y^2 |0^-x + 2 = x(-x + 2) + 32(-x + 2)^2