Calcular sendo a região limitada pela curva pelas retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região está limitada pela curva e pela reta . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e geometria para delimitar a região e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem quais são os limites da região . Temos a curva e a reta . Para visualizar melhor, vamos encontrar o ponto onde essas duas equações se intersectam.
Passo 3
Para achar o ponto de interseção, igualamos as duas expressões para :
Passo 4
Vamos resolver essa equação para . Primeiro, dividimos ambos os lados por (que é diferente de zero):
Passo 5
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 6
Rearranjando os termos para formar uma equação quadrática:
Passo 7
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 8
Agora, encontramos os valores de correspondentes substituindo e na equação :
Para :
Para :
Passo 9
Então, a região está limitada entre e , e as funções que determinam vão de até (rearranjando a reta para ).
Passo 10
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. A integral fica:
Passo 11
Vamos primeiro integrar em relação a . A integral de em relação a é:
Então, avaliamos entre os limites e :
Passo 12
Simplificando as expressões:
(2e - x)^22 - x e^22 = 4e^2 - 4e x + x^22 - x e^22 = 4e^2 - 4e x + x^2 - x e^22
Passo 13
Podemos fatorar e simplificar mais:
4e^2 - x e^2 - 4e x + x^22 = (4 - x)e^2 - 4e x + x^22
Passo 14
Agora, integremos essa expressão em relação a x de 1 a 4:
integral1^4 (4 - x)e^2 - 4e x + x^22 , dx = 12 integral1^4 ( (4 - x)e^2 - 4e x + x^2 ) dx