Calcular integral duplaR y d x d y, R sendo a região limitada pela curva y=raizx e pelas retas x+y=2 e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR y , dx , dy, onde a região R está limitada pela curva y = raizx , e e pela reta x + y = 2 , e. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e geometria para delimitar a região e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem quais são os limites da região R. Temos a curva y = raizx , e e a reta x + y = 2 , e. Para visualizar melhor, vamos encontrar o ponto onde essas duas equações se intersectam.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção, igualamos as duas expressões para y:
raizx , e = 2 , e - x

Passo 4

Vamos resolver essa equação para x. Primeiro, dividimos ambos os lados por e (que é diferente de zero):
raizx = 2 - x

Passo 5

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
(raizx)^2 = (2 - x)^2 x = 4 - 4x + x^2

Passo 6

Rearranjando os termos para formar uma equação quadrática:
x^2 - 5x + 4 = 0

Passo 7

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Então, as soluções são:
x = 5 + 32 = 4 e x = 5 - 32 = 1

Passo 8

Agora, encontramos os valores de y correspondentes substituindo x = 1 e x = 4 na equação y = raizx , e:
Para x = 1:
y = raiz1 , e = e
Para x = 4:
y = raiz4 , e = 2e

Passo 9

Então, a região R está limitada entre x = 1 e x = 4, e as funções que determinam y vão de y = raizx , e até y = 2e - x (rearranjando a reta x + y = 2 , e para y = 2e - x).

Passo 10

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. A integral fica:
integral duplaR y , dx , dy = integralx=1^4 integraly=raizx , e^2e - x y , dy , dx

Passo 11

Vamos primeiro integrar em relação a y. A integral de y em relação a y é:
integral y , dy = y^22
Então, avaliamos entre os limites y = raizx , e e y = 2e - x:
y^22 |raizx , e^2e - x = (2e - x)^22 - ( raizx , e )^22

Passo 12

Simplificando as expressões:
(2e - x)^22 - x e^22 = 4e^2 - 4e x + x^22 - x e^22 = 4e^2 - 4e x + x^2 - x e^22

Passo 13

Podemos fatorar e simplificar mais:
4e^2 - x e^2 - 4e x + x^22 = (4 - x)e^2 - 4e x + x^22

Passo 14

Agora, integremos essa expressão em relação a x de 1 a 4:
integral1^4 (4 - x)e^2 - 4e x + x^22 , dx = 12 integral1^4 ( (4 - x)e^2 - 4e x + x^2 ) dx

Passo 15

Vamos separar a integral:
12 ( e^2 integral1^4 (4 - x) , dx - 4e integral1^4 x , dx + integral1^4 x^2 , dx )

Passo 16

Calculando cada integral:
  1. Para integral (4 - x) , dx:
4x - x^22 |1^4 = [16 - 8] - [4 - 12] = 8 - 3.5 = 4.5
  1. Para integral x , dx:
x^22 |1^4 = 162 - 12 = 8 - 0.5 = 7.5
  1. Para integral x^2 , dx:
x^33 |1^4 = 643 - 13 = 633 = 21

Passo 17

Substituindo os resultados de volta:
12 ( e^2 cdot 4.5 - 4e cdot 7.5 + 21 ) = 12 ( 4.5e^2 - 30e + 21 )

Passo 18

Finalmente, simplificamos:
12 cdot 4.5e^2 = 2.25e^2 12 cdot (-30e) = -15e 12 cdot 21 = 10.5
Então:
2.25e^2 - 15e + 10.5

Resposta

A integral dupla integral duplaR y , dx , dy vale 2.25e^2 - 15e + 10.5.

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