Calcule, usando integral dupla, o volume: do sólido limitado pela superfície f(x, y) = 4 - x^2/9 - y^2/16, os planos x = 3 e y = 2 e os três planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o volume de um sólido usando uma integral dupla. Esse sólido é limitado pela superfície , pelos planos e , e pelos três planos coordenados (ou seja, , e ). Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla para encontrar volumes e identificar corretamente a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície . Essa é a equação de uma elipsoide parabólica, que se abre para baixo porque o coeficiente de é positivo. Os planos e vão limitar essa elipsoide em termos de e . Além disso, os planos coordenados , e vão definir os limites inferiores.

Passo 3

Agora, precisamos determinar a região de integração no plano . Como varia de 0 a 3 e varia de 0 a 2, nossa região é um retângulo delimitado por esses valores. A integral dupla para o volume será:
Aqui, estamos integrando a função sobre a região .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Calculando os limites:
Simplificando:
Agora, integramos isso em relação a :
Calculando os limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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