Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
e) integral0^2 integral0^4-y^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma integral dupla que representa uma região no plano XY. O enunciado é:
integral0^2 integral0^4-y^2 y , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras quantidades em regiões bidimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar a região de integração, e então mudar a ordem de integração de para .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A integral está estruturada da seguinte forma:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada valor de , varia de 0 até .
Isso significa que nossa região está limitada pela curva , pelo eixo , pelo eixo e pela linha .

Passo 3

Vamos esboçar essa região. A curva é uma parábola que abre para a esquerda. Quando , , e quando , . Então, a região de integração fica dentro da parábola, entre e .

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Atualmente, integramos primeiro em y^2 = 4 - x implies y = raiz4 - x de 0 a , e depois em de 0 a 2. Para inverter, precisamos expressar em termos de .
Da equação , isolamos :

Passo 5

Com isso, os novos limites de integração ficam:
  • integral0^4 integral0^raiz4 - x y , dy , dx varia de 0 a 4 (já que quando , vai até 4).
  • Para cada valor de , varia de 0 até .
Então, a integral com a ordem invertida fica:

Resposta

A região de integração é o conjunto de pontos integral0^4 integral0^raiz4 - x y , dy , dx onde e . Mudando a ordem de integração, a integral fica:

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