Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma integral dupla que representa uma região no plano XY. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras quantidades em regiões bidimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar a região de integração, e então mudar a ordem de integração de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A integral está estruturada da seguinte forma:
-
varia de 0 a 2. - Para cada valor de
, varia de 0 até .
Isso significa que nossa região está limitada pela curva
, pelo eixo
, pelo eixo
e pela linha
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região. A curva
é uma parábola que abre para a esquerda. Quando
,
, e quando
,
. Então, a região de integração fica dentro da parábola, entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Atualmente, integramos primeiro em
de 0 a
, e depois em
de 0 a 2. Para inverter, precisamos expressar
em termos de
.
Da equação
, isolamos
:
Passo 5
Com isso, os novos limites de integração ficam:
-
varia de 0 a 4 (já que quando , vai até 4). - Para cada valor de
, varia de 0 até .
Então, a integral com a ordem invertida fica:
Resposta
A região de integração é o conjunto de pontos
onde
e
. Mudando a ordem de integração, a integral fica:
Exercícios relacionados
Uma massa de 10 kg está suspensa de uma bola cuja constante é
. Põe-se a massa em movimento, a partir da posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de
para cima e com uma força externa aplicada
sen
. Determine o movimento subsequente da massa, se a força da resistência do ar é -
.
Um circuito RCL ligado em série tem
ohms,
farad,
henry e uma tensão aplicada
volts. Admitindo que não haja corrente inicial nem carga inicial em
quando a tensão é aplicada pela primeira vez, determine a corrente subsequente no sistema.
Resposta:
Sabe-se que quando 3 resistores cujas resistências valem
e
estão acoplados em paralelo, a resistência equivalente
pode ser calculada através da equação
Encontre
.
Considere
.
b) Descreva a curva formada pela interseção do gráfico de com o plano
b) Descreva a curva formada pela interseção do gráfico de