Sabe-se que quando 3 resistores cujas resistências valem R1, R2 e R3 estão acoplados em paralelo, a resistência equivalente R pode ser calculada através da equação
1R=1R1+1R2+1R3
Encontre partial Rpartial R3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de circuitos elétricos envolvendo resistores em paralelo. Temos três resistores com resistências , e conectados juntos. A resistência equivalente desse conjunto é dada por uma fórmula específica, e precisamos descobrir como essa resistência equivalente ( ) varia quando mudamos a resistência . Para isso, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula que relaciona as resistências dos resistores em paralelo:
1R = 1R1 + 1R2 + 1R3
Essa equação nos diz que o inverso da resistência equivalente é igual à soma dos inversos das resistências individuais.

Passo 3

Queremos encontrar como R = ( 1R1 + 1R2 + 1R3 )^-1 muda quando muda. Para facilitar, vamos reescrever a equação para expressar em função de :
Agora, está escrito como uma função de , o que nos permite aplicar as regras de derivação.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f'(x) = -g'(x)[g(x)]^2 em relação a partial Rpartial R3 = -ddR3( 1R1 + 1R2 + 1R3 )( 1R1 + 1R2 + 1R3 )^2 . Usaremos a regra da cadeia para derivadas de funções compostas. Se temos uma função da forma , sua derivada é:
Aplicando isso à nossa função :

Passo 5

Agora, vamos derivar o numerador:
ddR3( 1R1 + 1R2 + 1R3 ) = 0 + 0 - 1R3^2 = -1R3^2
Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial Rpartial R3 = - -1R3^2 ( 1R1 + 1R2 + 1R3 )^2 = 1R3^2 cdot ( 1R1 + 1R2 + 1R3 )^-2
Lembrando que:
R = ( 1R1 + 1R2 + 1R3 )^-1
Portanto,
( 1R1 + 1R2 + 1R3 )^-2 = R^2

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada:
partial Rpartial R3 = 1R3^2 cdot R^2 = R^2R3^2

Resposta

A derivada parcial de partial Rpartial R3 = R^2R3^2 em relação a é:

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