Suponha que
convirja quando
e divirja quando
. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências
que converge quando
e diverge quando
. Nosso objetivo é analisar a convergência ou divergência de outras séries relacionadas a essa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raio de convergência de séries de potências e como aplicá-lo para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da nossa série de potências. A série
está centrada em
, porque a expressão é
. O raio de convergência ® é a distância máxima em que a série converge a partir do centro.
Passo 3
Sabemos que a série converge quando
e diverge quando
. Vamos calcular a distância desses pontos até o centro (
):
-
Para
: Como a série converge nesse ponto, sabemos que o raio de convergênciaé pelo menos 5, ou seja, . -
Para
: Como a série diverge nesse ponto, o raio de convergênciaé menor que 7, ou seja, .
Então, temos que
.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada uma das séries apresentadas na questão com base nesse raio de convergência.
a.
Aqui, estamos considerando
, que corresponde a
, pois
para
. Mas para termos
, precisamos que
, ou seja,
.
A distância de 2 até o centro 1 é:
Como
(já que
), a série converge.
b.
Aqui, temos
, que pode ser visto como
com
.
A distância de 9 até o centro 1 é:
Como
(sabemos que
), a série diverge.
c.
Neste caso, temos
, que corresponde a
(
).
A distância de -2 até o centro 1 é:
Como
(com
), a série converge.
d.
Aqui, a série é
. O fator
não afeta a convergência, pois trata-se apenas de um termo alternado. Então, consideramos
, que corresponde a
.
A distância de 10 até o centro 1 é:
Como
(com
), a série diverge.
Resposta
a. A série
converge.
b. A série
diverge.
c. A série
converge.
d. A série
diverge.
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.
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e
, então
.