Suponha que convirja quando e divirja quando . O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
a.
b.
c.
d.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências que converge quando e diverge quando . Nosso objetivo é analisar a convergência ou divergência de outras séries relacionadas a essa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raio de convergência de séries de potências e como aplicá-lo para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da nossa série de potências. A série está centrada em , porque a expressão é . O raio de convergência ® é a distância máxima em que a série converge a partir do centro.

Passo 3

Sabemos que a série converge quando e diverge quando . Vamos calcular a distância desses pontos até o centro ( ):
  • Para :
    â
    Como a série converge nesse ponto, sabemos que o raio de convergência é pelo menos 5, ou seja, .
  • Para :
    â
    Como a série diverge nesse ponto, o raio de convergência é menor que 7, ou seja, .
Então, temos que .

Passo 4

Agora, vamos analisar cada uma das séries apresentadas na questão com base nesse raio de convergência.

a.

Aqui, estamos considerando , que corresponde a , pois para . Mas para termos , precisamos que , ou seja, .
A distância de 2 até o centro 1 é:
Como (já que ), a série converge.

b.

Aqui, temos , que pode ser visto como com .
A distância de 9 até o centro 1 é:
Como (sabemos que ), a série diverge.

c.

Neste caso, temos , que corresponde a ( ).
A distância de -2 até o centro 1 é:
Como (com ), a série converge.

d.

Aqui, a série é . O fator não afeta a convergência, pois trata-se apenas de um termo alternado. Então, consideramos , que corresponde a .
A distância de 10 até o centro 1 é:
Como (com ), a série diverge.

Resposta

a. A série converge.
b. A série diverge.
c. A série converge.
d. A série diverge.

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