Esboce a regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas a seguir. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada.
©
e
;
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos a região
delimitada pelas curvas
,
e
. Depois, temos que expressar a integral dupla
como uma integral iterada. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender e esboçar a região
. As curvas dadas são:
-
: uma parábola que abre para cima. -
: o eixo y. -
: uma linha vertical a .
Vamos desenhar essas curvas no plano cartesiano para visualizar a região delimitada por elas.
Passo 3
Ao esboçar, notamos que a parábola
começa no ponto
e se estende para direita até
, onde
. A linha
é o limite esquerdo e
é o limite direito da região. Portanto, a região
está entre
e
, e para cada
nesse intervalo,
varia de
(no eixo y) até
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração para a integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso:
-
varia de a . - Para cada
fixo, varia de a .
Passo 5
Com esses limites, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Ficamos com:
Resposta
A integral dupla sobre a região
pode ser expressa como a integral iterada:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas dadas a seguir:
(g)
(g)
Esboce a regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas a seguir. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada.
(d) e
;
(d)
Mude a unidade de graus pra radianos ou de radianos pra graus.
a)
b)
c) 1 rad
d) 0.5 rad
a)
b)
c) 1 rad
d) 0.5 rad