Esboce a regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas a seguir. Se é uma função contínua arbitrária, expresse como uma integral iterada.
© e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos a região delimitada pelas curvas , e . Depois, temos que expressar a integral dupla como uma integral iterada. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender e esboçar a região . As curvas dadas são:
  1. : uma parábola que abre para cima.
  2. : o eixo y.
  3. : uma linha vertical a .
Vamos desenhar essas curvas no plano cartesiano para visualizar a região delimitada por elas.

Passo 3

Ao esboçar, notamos que a parábola começa no ponto e se estende para direita até , onde . A linha é o limite esquerdo e é o limite direito da região. Portanto, a região está entre e , e para cada nesse intervalo, varia de (no eixo y) até .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para a integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso:
  • varia de a .
  • Para cada fixo, varia de a .

Passo 5

Com esses limites, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Ficamos com:

Resposta

A integral dupla sobre a região pode ser expressa como a integral iterada:

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Calcule as integrais iteradas dadas a seguir:
(g)
Esboce a regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas a seguir. Se é uma função contínua arbitrária, expresse como uma integral iterada.
(d) e ;
Mude a unidade de graus pra radianos ou de radianos pra graus.
a)
b)
c) 1 rad
d) 0.5 rad