Calcule as integrais iteradas dadas a seguir:
(h) integral1^2 integralx^3^x e^y / x d y d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver juntos essa integral iterada:
integral1^2 integralx^3^x e^yx , dy , dx
Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Vamos começar integrando a função integralx^3^x e^yx , dy em relação a , mantendo como uma constante. Então, temos:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja . Assim, ou .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integralu = x^3x^u = xx e^u cdot x , du = x integralx^2^1 e^u , du
Aqui, ajustamos os limites de integração de acordo com a substituição .

Passo 4

Agora, integramos x [ e^u ]x^2^1 = x ( e^1 - e^x^2 ) = x (e - e^x^2) em relação a :
Então, a integral interna simplifica para .

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em rela��ão a integral1^2 x (e - e^x^2) , dx = e integral1^2 x , dx - integral1^2 x e^x^2 , dx de 1 a 2:
Dividimos a integral em duas partes para facilitar o cálculo.

Passo 6

Calculando a primeira integral:
e integral1^2 x , dx = e [ x^22 ]1^2 = e ( 42 - 12 ) = e ( 32 ) = 3e2

Passo 7

Para a segunda integral, fazemos uma substituição integral1^2 x e^x^2 , dx = 12 integral1^4 e^v , dv = 12 [ e^v ]1^4 = 12 (e^4 - e^1) = e^4 - e2 , então ou :

Passo 8

Agora, juntando as duas partes:
3e2 - e^4 - e2 = 3e - e^4 + e2 = 4e - e^42 = 2e - e^42

Resposta

O valor da integral é:
2e - e^42

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