Esboce a regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas a seguir. Se é uma função contínua arbitrária, expresse como uma integral iterada.
(d) e ;

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve esboçar uma região delimitada por três curvas e expressar uma integral dupla sobre essa região como uma integral iterada. O conteúdo principal aqui são integrais duplas e a determinação dos limites de integração para configurar a integral iterada.
Precisamos:
  • Identificar a região delimitada pelas curvas dadas.
  • Encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites da região.
  • Configurar a integral dupla como uma integral iterada adequada.

Passo 2

Esboçando a Região
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região :
  1. – uma parábola que abre para cima.
  2. – o eixo y.
  3. – uma linha reta decrescente.
Para visualizar a região, vamos esboçar cada uma dessas curvas no plano cartesiano.

Passo 3

Encontrando os Pontos de Interseção
Para determinar os limites de integração, precisamos encontrar onde essas curvas se intersectam.
  1. Interseção entre e :
    Igualamos as duas equações:
    Rearranjando:
    Resolvendo a equação quadrática:
    Aproximadamente, as soluções são e . Como estamos considerando como um dos limites, descartamos a solução negativa.
    Portanto, o ponto de interseção relevante é aproximadamente .
  2. Interseção entre e :
    Para , substituímos na :
    Portanto, o ponto de interseção é .
  3. Interseção entre e :
    Para , substituímos na :
    Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 4

Definindo os Limites de Integração
Agora que temos os pontos de interseção, podemos definir os limites para a integral iterada.
Observando o esboço:
  • varia de até .
  • Para cada valor de , varia de até .

Passo 5

Configurando a Integral Iterada
Com os limites definidos, a integral dupla pode ser expressa como uma integral iterada onde integramos primeiro em e depois em .
A expressão fica:

Resposta

A integral dupla sobre a região pode ser expressa como:

Exercícios relacionados

Esboce a regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas a seguir. Se é uma função contínua arbitrária, expresse como uma integral iterada.
© e ;
Calcule as integrais iteradas dadas a seguir:
(g)
Mude a unidade de graus pra radianos ou de radianos pra graus.
a)
b)
c) 1 rad
d) 0.5 rad
Para calcule:
a)
b)
c)
d)
e)