Esboce a regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas a seguir. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada.
(d)
e
;
(d)
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve esboçar uma região delimitada por três curvas e expressar uma integral dupla sobre essa região como uma integral iterada. O conteúdo principal aqui são integrais duplas e a determinação dos limites de integração para configurar a integral iterada.
Precisamos:
- Identificar a região
delimitada pelas curvas dadas. - Encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites da região.
- Configurar a integral dupla
como uma integral iterada adequada.
Passo 2
Esboçando a Região
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região
:
-
– uma parábola que abre para cima. -
– o eixo y. -
– uma linha reta decrescente.
Para visualizar a região, vamos esboçar cada uma dessas curvas no plano cartesiano.
Passo 3
Encontrando os Pontos de Interseção
Para determinar os limites de integração, precisamos encontrar onde essas curvas se intersectam.
-
Interseção entre
e : Igualamos as duas equações:Rearranjando:Resolvendo a equação quadrática:Aproximadamente, as soluções sãoe . Como estamos considerando como um dos limites, descartamos a solução negativa. Portanto, o ponto de interseção relevante é aproximadamente. -
Interseção entre
e : Para, substituímos na : Portanto, o ponto de interseção é. -
Interseção entre
e : Para, substituímos na : Portanto, o ponto de interseção é.
Passo 4
Definindo os Limites de Integração
Agora que temos os pontos de interseção, podemos definir os limites para a integral iterada.
Observando o esboço:
-
varia de até . - Para cada valor de
, varia de até .
Passo 5
Configurando a Integral Iterada
Com os limites definidos, a integral dupla pode ser expressa como uma integral iterada onde integramos primeiro em
e depois em
.
A expressão fica:
Resposta
A integral dupla sobre a região
pode ser expressa como:
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Esboce a regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas a seguir. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada.
© e
;
©
Calcule as integrais iteradas dadas a seguir:
(g)
(g)
Mude a unidade de graus pra radianos ou de radianos pra graus.
a)
b)
c) 1 rad
d) 0.5 rad
a)
b)
c) 1 rad
d) 0.5 rad
Para
calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)