Esboce a regiāo R delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas a seguir. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada.
(d) G1: y=x^2, G2: x=0 e G3: y=8-x;

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve esboçar uma região delimitada por três curvas e expressar uma integral dupla sobre essa região como uma integral iterada. O conteúdo principal aqui são integrais duplas e a determinação dos limites de integração para configurar a integral iterada.
Precisamos:
  • Identificar a região R delimitada pelas curvas dadas.
  • Encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites da região.
  • Configurar a integral dupla integral duplaR f(x, y) , dA como uma integral iterada adequada.

Passo 2

Esboçando a Região R
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região R:
  1. G1: y = x^2 – uma parábola que abre para cima.
  2. G2: x = 0 – o eixo y.
  3. G3: y = 8 - x – uma linha reta decrescente.
Para visualizar a região, vamos esboçar cada uma dessas curvas no plano cartesiano.

Passo 3

Encontrando os Pontos de Interseção
Para determinar os limites de integração, precisamos encontrar onde essas curvas se intersectam.
  1. Interseção entre G1 e G3:
    Igualamos as duas equações:
    x^2 = 8 - x
    Rearranjando:
    x^2 + x - 8 = 0
    Resolvendo a equação quadrática:
    x = -1 pm raiz1 + 322 = -1 pm raiz332
    Aproximadamente, as soluções são x approx 2.372 e x approx -3.372. Como estamos considerando x = 0 como um dos limites, descartamos a solução negativa.
    Portanto, o ponto de interseção relevante é aproximadamente (2.372, 5.628).
  2. Interseção entre G1 e G2:
    Para x = 0, substituímos na G1:
    y = 0^2 = 0
    Portanto, o ponto de interseção é (0, 0).
  3. Interseção entre G2 e G3:
    Para x = 0, substituímos na G3:
    y = 8 - 0 = 8
    Portanto, o ponto de interseção é (0, 8).

Passo 4

Definindo os Limites de Integração
Agora que temos os pontos de interseção, podemos definir os limites para a integral iterada.
Observando o esboço:
  • x varia de 0 até -1 + raiz332.
  • Para cada valor de x, y varia de y = x^2 até y = 8 - x.

Passo 5

Configurando a Integral Iterada
Com os limites definidos, a integral dupla pode ser expressa como uma integral iterada onde integramos primeiro em y e depois em x.
A expressão fica:
integral duplaR f(x, y) , dA = integralx=0^-1 + raiz332 ( integraly=x^2^y=8 - x f(x, y) , dy ) dx

Resposta

A integral dupla sobre a região R pode ser expressa como:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^-1 + raiz332 integralx^2^8 - x f(x, y) , dy , dx

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