Calcule as integrais iteradas dadas a seguir:
(g) integral0^ln 3 integral0^ln 2 e^x+y d y d x

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla:
integral0^ln 3 integral0^ln 2 e^x+y , dy , dx
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das integrais de funções exponenciais e saber como integrar em partes, uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^ln 2 e^x cdot e^y , dy = e^x integral0^ln 2 e^y , dy , mantendo fixo. A função dentro da integral é . Podemos reescrever isso como , já que as exponenciais se multiplicam quando os expoentes se somam.
Então, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral e^y , dy = e^y + C em relação a e^ln 2 - e^0 = 2 - 1 = 1 :
Aplicando os limites de integração de 0 a :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^ln 3 e^x , dx
Vamos integrar integral e^x , dx = e^x + C em relação a e^ln 3 - e^0 = 3 - 1 = 2 :
Aplicando os limites de integração de 0 a :

Resposta

A integral dupla vale 2.

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