Esboce as regiões do plano definidas pelas equações ou inequações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é esboçar as regiões do plano definidas pelas inequações e . Para isso, vamos precisar entender como as inequações com valor absoluto funcionam e como elas se traduzem graficamente no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a inequação . O símbolo de valor absoluto representa a distância de até zero na reta numérica. Então, significa que está a menos de 4 unidades de distância de zero. Isso se traduz na inequação:
Graficamente, essa inequação representa uma faixa vertical no plano , onde varia entre -4 e 4.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a inequação . Similarmente ao , representa a distância de até zero. Assim, significa que está a menos de 2 unidades de distância de zero. Isso se traduz na inequação:
Graficamente, essa inequação representa uma faixa horizontal no plano , onde varia entre -2 e 2.

Passo 4

Como as duas inequações são unidas pelo e (conjunção), estamos procurando a região que satisfaz ambas as condições ao mesmo tempo. Isso significa que a solução final será a interseção das duas faixas que desenhamos:
  • A faixa vertical entre e .
  • A faixa horizontal entre e .

Passo 5

A interseção dessas duas faixas forma um retângulo no plano . As bordas desse retângulo são:
  • Linha vertical à esquerda em .
  • Linha vertical à direita em .
  • Linha horizontal na parte de baixo em .
  • Linha horizontal na parte de cima em .
Esse retângulo está centrado na origem (0,0) e tem comprimento de 8 unidades no eixo e altura de 4 unidades no eixo .

Resposta

A região definida pelas inequações e é um retângulo no plano com vértices em , , e .

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Sejam e pontos no plano:
Encontre o comprimento do segmento .
Demonstre as identidades.
Avalie cada expressão sem usar uma calculadora.
Avalie cada expressão sem usar uma calculadora.