Esboce as seguintes regiões no plano:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar (ou desenhar) uma região no plano cartesiano que satisfaça duas condições:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses e inequações envolvendo quadrados de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a inequação
. Essa é a equação de uma elipse centrada na origem (0,0).
- O denominador de
é 4, então o semi-eixo maior na direção x é . - O denominador de
é 9, então o semi-eixo maior na direção y é .
Isso significa que a elipse se estende de -2 a 2 no eixo x e de -3 a 3 no eixo y.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda condição:
.
-
implica que ou . Isso restringe os valores de x para estarem fora do intervalo (-1, 1). -
implica que . Assim, a coordenada y deve ser maior ou igual em magnitude que a de x.
Passo 4
Com as duas condi��ões analisadas, vamos esboçar a região:
- Desenhe a elipse definida por
. Ela terá semi-eixos de 2 (x) e 3 (y). - Marque as áreas onde $x^{2} \geq 1. Isso significa que vamos considerar apenas as partes da elipse onde
, . - Dentro dessas áreas, aplique a condição
. Isso restringe ainda mais a região, garantindo que para cada ponto considerado, a coordenada y seja maior ou igual a x em valor absoluto.
Resposta
A região solicitada é a parte da elipse
onde
e
. Para esboçar, desenhe a elipse centrada na origem com semi-eixos de 2 (x) e 3 (y), e destaque as áreas dentro da elipse que estão fora dos intervalos
e onde a coordenada y tem magnitude igual ou maior que a de x.