Esboce as seguintes regiões no plano: {(x, y) ∈ R^2 ; x^2/4 + y^2/9 <= 1 ; 1 <= x^2 <= y^2}

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar (ou desenhar) uma região no plano cartesiano que satisfaça duas condições:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses e inequações envolvendo quadrados de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a inequação . Essa é a equação de uma elipse centrada na origem (0,0).
  • O denominador de x^2 é 4, então o semi-eixo maior na direção x é .
  • O denominador de y^2 é 9, então o semi-eixo maior na direção y é .
Isso significa que a elipse se estende de -2 a 2 no eixo x e de -3 a 3 no eixo y.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda condição: .
  • implica que x ≥ 1 ou . Isso restringe os valores de x para estarem fora do intervalo (-1, 1).
  • implica que . Assim, a coordenada y deve ser maior ou igual em magnitude que a de x.

Passo 4

Com as duas condi��ões analisadas, vamos esboçar a região:
  1. Desenhe a elipse definida por . Ela terá semi-eixos de 2 (x) e 3 (y).
  2. Marque as áreas onde $x^{2} \geq 1. Isso significa que vamos considerar apenas as partes da elipse onde , .
  3. Dentro dessas áreas, aplique a condição . Isso restringe ainda mais a região, garantindo que para cada ponto considerado, a coordenada y seja maior ou igual a x em valor absoluto.

Resposta

A região solicitada é a parte da elipse onde e . Para esboçar, desenhe a elipse centrada na origem com semi-eixos de 2 (x) e 3 (y), e destaque as áreas dentro da elipse que estão fora dos intervalos -1 <= x <= 1 e onde a coordenada y tem magnitude igual ou maior que a de x.

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