Esboce as seguintes regiões no plano: {(x, y) in R^2 ; x^2 - y^2 <= 1 ; -1 - x^2 <= y <= 1 + x^2}

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas condições para os pares no plano:
Estamos trabalhando com geometria analítica, que envolve desenhar regiões no plano usando equações e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas desigualdades representa graficamente e então combinar essas informações para esboçar a região final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a desigualdade .
Essa inequação descreve uma hipérbole. A equação correspondente é uma hipérbole que abre para os lados esquerdo e direito no plano cartesiano. A parte “ ” indica que queremos a região dentro ou na hipérbole. Então, vamos desenhar a hipérbole e sombrear a área dentro dela.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as desigualdades .
Aqui, temos duas funções:
  1. : essa é uma parábola que se abre para baixo.
  2. : essa é outra parábola, mas que se abre para cima.
Essas duas par��bolas formam uma “faixa” entre elas. A desigualdade indica que está acima de e abaixo de . Então, vamos desenhar essas duas parábolas e sombrear a região entre elas.

Passo 4

Com as duas regiões desenhadas (a hipérbole e a faixa entre as parábolas), precisamos encontrar onde elas se sobrepõem.
Isso significa que a solução da questão é a área que está dentro da hipérbole e também entre as parábolas e .
Para visualizar isso, imagine desenhar todas as curvas mencionadas no mesmo gráfico e identificar onde as sombreamentos das duas primeiras regiões se encontram.

Resposta

A região que satisfaz todas as condições da questão é a área no plano cartesiano que está dentro da hipérbole e simultaneamente entre as parábolas e . Ao esbocar essas curvas juntas, a sobreposição dessas áreas representa a solução desejada.

Exercícios relacionados