Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(b)
, onde
é uma constante.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está ligado ao estudo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões do tipo
quando
tende a 0 e
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a base da potência
. Quando
tende a
, tanto o numerador quanto o denominador são dominados pelo termo
. Então:
À medida que
,
e
tendem a 0, então:
Isso nos mostra que a base da potência está se aproximando de 1.
Passo 3
Agora, como a base está tendendo a 1 e o expoente
está tendendo a
, temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver esse tipo de limite, usamos o logaritmo natural para simplificar a expressão.
Vamos chamar o limite de
:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Vamos simplificar
:
Usando a aproximação para
grande:
Subtraindo as duas:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão do
:
Isso porque
tende a 0 quando
vai para infinito.
Resposta
Finalmente, como
, temos que
. Portanto,