Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(b) lim x +infty(x+2x-1)^x+b, onde b in R é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está ligado ao estudo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões do tipo quando tende a 0 e tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a base da potência x+2x-1 = x(1 + 2x)x(1 - 1x) = 1 + 2x1 - 1x . Quando 1 + 2x1 - 1x approx 1 + 01 - 0 = 1 tende a , tanto o numerador quanto o denominador são dominados pelo termo . Então:
À medida que , e tendem a 0, então:
Isso nos mostra que a base da potência está se aproximando de 1.

Passo 3

Agora, como a base está tendendo a 1 e o expoente L = limx +infty (x+2x-1)^x+b está tendendo a ln L = limx +infty (x + b) cdot ln(x+2x-1) , temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver esse tipo de limite, usamos o logaritmo natural para simplificar a expressão.
Vamos chamar o limite de :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 4

Vamos simplificar ln(x+2x-1) = ln(x+2) - ln(x-1) :
ln(x+2) approx ln x + 2x e ln(x-1) approx ln x - 1x
Usando a aproximação para ln(x+2) - ln(x-1) approx (ln x + 2x) - (ln x - 1x) = 3x grande:
Subtraindo as duas:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão do ln L approx limx +infty (x + b) cdot 3x = limx +infty 3 (1 + bx) = 3 :
Isso porque tende a 0 quando vai para infinito.

Resposta

Finalmente, como lim x +infty(x+2x-1)^x+b = e^3 , temos que . Portanto,

Exercícios relacionados