Sabendo que para cada x0 in Dom(f) tem-se que f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(x0)x-x0=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h se tal limite existe, calcule, se possível, f^prime(x0) em cada caso a seguir:
© f(x)=ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. Vamos precisar entender o que é derivada, a definição de limite e como aplicá-las para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h representa a taxa de variação de em relação a no ponto . A definição de derivada que vamos usar é:
Isso significa que vamos calcular o limite dessa fração quando se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar a função f'(x0) = limh to 0 ln(x0 + h) - ln(x0)h na fórmula da derivada:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para calcular o limite.

Passo 4

Usamos uma propriedade dos logaritmos que diz que f'(x0) = limh to 0 ln(x0 + hx0)h . Aplicando isso:
x0 + hx0 = 1 + hx0
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
f'(x0) = limh to 0 ln(1 + hx0)h
Então temos:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar o limite. Seja f'(x0) = limk to 0 ln(1 + k)k cdot x0 , então quando , . Reescrevendo:
Sabemos que (esse é um limite fundamental em cálculo).

Passo 6

Aplicando esse limite, temos:
f'(x0) = 1x0 cdot limk to 0 ln(1 + k)/k = 1x0 cdot 1 = 1x0

Resposta

A derivada de é .

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