Sabendo que para cada
tem-se que
se tal limite existe, calcule, se possível,
em cada caso a seguir:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função
usando a definição de derivada. Vamos precisar entender o que é derivada, a definição de limite e como aplicá-las para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada
representa a taxa de variação de
em relação a
no ponto
. A definição de derivada que vamos usar é:
Isso significa que vamos calcular o limite dessa fração quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos aplicar a função
na fórmula da derivada:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para calcular o limite.
Passo 4
Usamos uma propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso:
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
Então temos:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para facilitar o limite. Seja
, então quando
,
. Reescrevendo:
Sabemos que
(esse é um limite fundamental em cálculo).
Passo 6
Aplicando esse limite, temos:
Resposta
A derivada de
é
.