Sabendo que para cada
tem-se que
se tal limite existe, calcule, se possível,
em cada caso a seguir:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente ao conceito de derivada de uma função. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função no ponto
. A derivada
é definida como o limite:
Isso significa que a derivada representa a taxa de variação da função em
, ou seja, quão rápido a função está mudando nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula da derivada, temos:
Nossa tarefa é calcular esse limite para encontrar
.
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar a expressão
. A identidade é:
Aplicando essa identidade com
e
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo essa expressão na fórmula da derivada, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Observamos que:
Além disso, quando
tende a 0,
tende a
. Portanto, substituindo esses limites na expressão anterior:
Resposta
A derivada de
no ponto
é: