Sabendo que para cada x0 in Dom(f) tem-se que f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(x0)x-x0=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h se tal limite existe, calcule, se possível, f^prime(x0) em cada caso a seguir:
(b) f(x)=cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente ao conceito de derivada de uma função. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função no ponto f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h . A derivada é definida como o limite:
Isso significa que a derivada representa a taxa de variação da função em , ou seja, quão rápido a função está mudando nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f'(x0) = limh to 0 cos(x0 + h) - cos(x0)h . Substituindo na fórmula da derivada, temos:
Nossa tarefa é calcular esse limite para encontrar .

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar a expressão cos(A) - cos(B) = -2 sin( A + B2 ) sin( A - B2 ) . A identidade é:
cos(x0 + h) - cos(x0) = -2 sin( (x0 + h) + x02 ) sin( (x0 + h) - x02 )
Aplicando essa identidade com cos(x0 + h) - cos(x0) = -2 sin( x0 + h2 ) sin( h2 ) e , temos:
Simplificando:

Passo 5

Substituindo essa expressão na fórmula da derivada, temos:
f'(x0) = limh to 0 -2 sin( x0 + h2 ) sin( h2 ) h
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por f'(x0) = -2 limh to 0 sin( x0 + h2 ) cdot sin( h2 ) h :

Passo 6

Observamos que:
limh to 0 sin( h2 ) h = 12 limh to 0 sin( h2 ) h2 = 12 cdot 1 = 12
Além disso, quando f'(x0) = -2 cdot sin(x0) cdot 12 = -sin(x0) tende a 0, tende a . Portanto, substituindo esses limites na expressão anterior:

Resposta

A derivada de f'(x0) = -sin(x0) no ponto é:

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