Esboce as três retas abaixo. As equações podem ser resolvidas?
Sistema 3 por 2 x+2 y & =2 x-y & =2 y & =1
O que acontece se todos os elementos do lado direito forem zero? Há alguma opção diferente de zero para o lado direito que permita que as três linhas se interceptem no mesmo ponto?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um sistema de 3 equações com 2 incógnitas:
x + 2y &= 2 x - y &= 2 y &= 1
Nosso objetivo é ver se conseguimos resolver esse sistema (ou seja, encontrar valores de e que satisfaçam todas as equações) e também o que acontece se mudarmos o lado direito das equações. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a terceira equação que já nos dá y = 1 :
Isso facilita bastante, porque agora já sabemos o valor de .

Passo 3

Com x - y = 2 x - 1 = 2 x = 2 + 1 x = 3 , vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar :
Agora sabemos que .

Passo 4

Vamos verificar se esses valores de x + 2y = 2 3 + 2(1) = 2 3 + 2 = 2 5 = 2 e também satisfazem a primeira equação:
Hmm… Isso não faz sentido! 5 não é igual a 2. Isso significa que há um problema.

Passo 5

O que está acontecendo? Bem, tive um valor de e que satisfaz a segunda e terceira equações, mas não a primeira. Isso significa que o sistema não tem solução. As três retas não se interceptam todas no mesmo ponto.

Passo 6

Agora, vamos imaginar que todos os lados direitos das equações fossem zero:
x + 2y &= 0 x - y &= 0 y &= 0
Vamos ver o que acontece aqui.

Passo 7

Com x - 0 = 0 x = 0 da terceira equação, substituímos na segunda:
Então, e .

Passo 8

Vamos checar na primeira equação:
0 + 2(0) = 0 0 = 0
Tudo confere! Portanto, quando todos os lados direitos são zero, temos uma única solução: e .

Passo 9

Por último, será que existe alguma outra opção diferente de zero para o lado direito que permita que as três linhas se interceptem no mesmo ponto? A resposta é não. Como vimos no nosso primeiro caso, qualquer valor diferente de zero resulta em equações conflitantes que não têm solução comum.

Resposta

Não, o sistema original não tem solução. Se todos os termos do lado direito forem zero, há uma única solução e . Não existe outra opção diferente de zero para o lado direito que faça com que as três retas se interceptem no mesmo ponto.

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