Esboce as três retas abaixo. As equações podem ser resolvidas?
O que acontece se todos os elementos do lado direito forem zero? Há alguma opção diferente de zero para o lado direito que permita que as três linhas se interceptem no mesmo ponto?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um sistema de 3 equações com 2 incógnitas:
Nosso objetivo é ver se conseguimos resolver esse sistema (ou seja, encontrar valores de
e
que satisfaçam todas as equações) e também o que acontece se mudarmos o lado direito das equações. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a terceira equação que já nos dá
:
Isso facilita bastante, porque agora já sabemos o valor de
.
Passo 3
Com
, vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar
:
Agora sabemos que
.
Passo 4
Vamos verificar se esses valores de
e
também satisfazem a primeira equação:
Hmm… Isso não faz sentido! 5 não é igual a 2. Isso significa que há um problema.
Passo 5
O que está acontecendo? Bem, tive um valor de
e
que satisfaz a segunda e terceira equações, mas não a primeira. Isso significa que o sistema não tem solução. As três retas não se interceptam todas no mesmo ponto.
Passo 6
Agora, vamos imaginar que todos os lados direitos das equações fossem zero:
Vamos ver o que acontece aqui.
Passo 7
Com
da terceira equação, substituímos na segunda:
Então,
e
.
Passo 8
Vamos checar na primeira equação:
Tudo confere! Portanto, quando todos os lados direitos são zero, temos uma única solução:
e
.
Passo 9
Por último, será que existe alguma outra opção diferente de zero para o lado direito que permita que as três linhas se interceptem no mesmo ponto? A resposta é não. Como vimos no nosso primeiro caso, qualquer valor diferente de zero resulta em equações conflitantes que não têm solução comum.
Resposta
Não, o sistema original não tem solução. Se todos os termos do lado direito forem zero, há uma única solução
e
. Não existe outra opção diferente de zero para o lado direito que faça com que as três retas se interceptem no mesmo ponto.