Sejam
e
matrizes em
. Se
, mostre que:
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve matrizes quadradas
e
de ordem
com entradas reais, onde
e
comutam, ou seja,
. O conteúdo aborda álgebra de matrizes, especificamente a expansão de expressões envolvendo matrizes que comutam. Para resolver, vamos utilizar propriedades da multiplicação de matrizes e a comutatividade dada.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
Primeiro, vamos expandir
:
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição:
Como
(matrizes comutam):
Passo 3
Parte (b): Mostrar que
Vamos multiplicar
pelo polinômio
:
Distribuindo cada termo de
:
Novamente, usando
:
Passo 4
Parte ©: Mostrar que
Vamos multiplicar
por
:
Aplicando a propriedade distributiva:
Como
:
Resposta
(a)
(b)
©