Sejam A e B matrizes em Mn(R). Se A B=B A, mostre que:
(a) (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2.
(b) (A-B)(A^2+A B+B^2)=A^3-B^3.
© (A+B)(A-B)=A^2-B^2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve matrizes quadradas e de ordem com entradas reais, onde e comutam, ou seja, . O conteúdo aborda álgebra de matrizes, especificamente a expansão de expressões envolvendo matrizes que comutam. Para resolver, vamos utilizar propriedades da multiplicação de matrizes e a comutatividade dada.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que (A + B)^2 = (A + B)(A + B)
Primeiro, vamos expandir = A(A + B) + B(A + B) :
= A^2 + AB + BA + B^2
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição:
= A^2 + AB + AB + B^2
= A^2 + 2AB + B^2
Como (matrizes comutam):

Passo 3

Parte (b): Mostrar que (A - B)(A^2 + AB + B^2)
Vamos multiplicar = A cdot A^2 + A cdot AB + A cdot B^2 - B cdot A^2 - B cdot AB - B cdot B^2 pelo polinômio = A^3 + AAB + AB^2 - BA^2 - BAB - B^3 :
= A^3 + A^2B + AB^2 - A^2B - AB^2 - B^3
Distribuindo cada termo de = A^3 - B^3 :
Novamente, usando :

Passo 4

Parte ©: Mostrar que (A + B)(A - B)
Vamos multiplicar = A(A - B) + B(A - B) por = A^2 - AB + BA - B^2 :
= A^2 - AB + AB - B^2
Aplicando a propriedade distributiva:
= A^2 - B^2
Como :

Resposta

(a)
(b)
©

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