Encontre a área da região limitada pelas curvas.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções, $ y = \cos x $ e $ y = \sin 2x $, além das linhas verticais $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $. O objetivo é encontrar a área da região limitada por essas curvas. Para isso, vamos usar o conceito de integração para calcular a área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde as duas funções se cruzam no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = \frac{\pi}{2} $. Isso nos ajudará a determinar qual função está acima da outra em cada subintervalo.
Igualando as funções:
Usando a identidade $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, temos:
Se $ \cos x \neq 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ \cos x $:
Portanto, $ x = \frac{\pi}{6} $ no intervalo dado.
Passo 3
Agora, sabemos que as funções se cruzam em $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{6} $. Vamos analisar qual função está acima da outra em cada subintervalo:
- De $ x = 0 $ a $ x = \frac{\pi}{6} $, $ \cos x $ está acima de $ \sin 2x $.
- De $ x = \frac{\pi}{6} $ a $ x = \frac{\pi}{2} $, $ \sin 2x $ está acima de $ \cos x $.
Passo 4
Vamos calcular a área em cada subintervalo separadamente:
Área total:
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{6} $:
Passo 6
Calculando a segunda integral:
Aplicando os limites de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{2} $:
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
Para $ x = \frac{\pi}{6} $:
Portanto:
Passo 7
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é $ \frac{1}{2} $ unidades de área.