Encontre a área da região limitada pelas curvas.
y=cos x, y=sen 2 x, x=0, x=pi / 2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções, $ y = \cos x $ e $ y = \sin 2x $, além das linhas verticais $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $. O objetivo é encontrar a área da região limitada por essas curvas. Para isso, vamos usar o conceito de integração para calcular a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde as duas funções se cruzam no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = \frac{\pi}{2} $. Isso nos ajudará a determinar qual função está acima da outra em cada subintervalo.
Igualando as funções:
x = 0
Usando a identidade $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, temos:
x = pi2
Se $ \cos x \neq 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ \cos x $:
cos x = sin 2x
sin 2x = 2 sin x cos x
Portanto, $ x = \frac{\pi}{6} $ no intervalo dado.

Passo 3

Agora, sabemos que as funções se cruzam em $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{6} $. Vamos analisar qual função está acima da outra em cada subintervalo:
  1. De $ x = 0 $ a $ x = \frac{\pi}{6} $, $ \cos x $ está acima de $ \sin 2x $.
  2. De $ x = \frac{\pi}{6} $ a $ x = \frac{\pi}{2} $, $ \sin 2x $ está acima de $ \cos x $.

Passo 4

Vamos calcular a área em cada subintervalo separadamente:
Área total:
A = integral0^pi6 (cos x - sin 2x) , dx + integralpi6^pi2 (sin 2x - cos x) , dx

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integral (cos x - sin 2x) , dx = sin x + cos 2x2 + C
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{6} $:
0
pi6
[ sin x + cos 2x2 ]0^pi6 = ( sin pi6 + cos pi32 ) - ( sin 0 + cos 02 )

Passo 6

Calculando a segunda integral:
integral (sin 2x - cos x) , dx = -cos 2x2 - sin x + C
Aplicando os limites de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{2} $:
pi6
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
pi2
Para $ x = \frac{\pi}{6} $:
[ -cos 2x2 - sin x ]pi6^pi2
Portanto:
x = pi2

Passo 7

Somando as duas áreas:
A = 14 + 14 = 12

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é $ \frac{1}{2} $ unidades de área.

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