Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma escada de 10 pés que está apoiada em uma parede vertical. A base da escada está deslizando para longe da parede a uma taxa de 1 pé por segundo. Queremos descobrir quão rápido o topo da escada está descendo quando a base está a 6 pés da parede. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo, mais especificamente, derivadas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação com um desenho simples. Imagine um triângulo retângulo formado pela parede, o chão e a escada. Vamos chamar:
- $ x $ de distância da base da escada até a parede,
- $ y $ da altura do topo da escada até o chão,
- E sabemos que a escada tem comprimento fixo de 10 pés.
Passo 3
Como o comprimento da escada é constante, podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar $ x $ e $ y $:
Ou seja:
Passo 4
Queremos encontrar a velocidade com que o topo da escada está descendo, que é a derivada de $ y $ em relação ao tempo, $ \frac{dy}{dt} $. Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = 1 $ pé/s.
Passo 5
Vamos diferenciar ambos os lados da equação $ x^2 + y^2 = 100 $ em relação ao tempo $ t $:
Isso dá:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dy}{dt} $. Vamos isolar esse termo:
Então:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar os valores de $ x $ e $ y $ quando $ x = 6 $ pés. Sabemos que:
Passo 9
Substituindo os valores na equação de $ \frac{dy}{dt} $:
Resposta
Quando a base da escada está a 6 pés da parede, o topo da escada está descendo a uma velocidade de $ -\frac{3}{4} $ pés por segundo.